卡方分佈, 卡方分布, 英語, square, distribution, distribution, 或寫作χ, 分布, 是概率论与统计学中常用的一种概率分布, k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布, 卡方分布是一种特殊的伽玛分布, 是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一, 例如假說檢定和置信区间的计算, 卡方分布概率密度函數累積分布函數参数k, displaystyle, mathbb, star, 自由度值域x, displaystyle, infty, 概率密度函数1, display. 卡方分布 英語 chi square distribution 2 x distribution 或寫作x 分布 是概率论与统计学中常用的一种概率分布 k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布 卡方分布是一种特殊的伽玛分布 是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一 例如假說檢定和置信区间的计算 卡方分布概率密度函數累積分布函數参数k N displaystyle k in mathbb N star 自由度值域x 0 displaystyle x in 0 infty 概率密度函数1 2 k 2 G k 2 x k 2 1 e x 2 displaystyle frac 1 2 frac k 2 Gamma left frac k 2 right x frac k 2 1 e frac x 2 累積分布函數1 G k 2 g k 2 x 2 displaystyle frac 1 Gamma left frac k 2 right gamma left frac k 2 frac x 2 right 期望值k displaystyle k 中位數 k 1 2 9 k 3 displaystyle approx k bigg 1 frac 2 9k bigg 3 眾數max k 2 0 方差2 k displaystyle 2k 偏度8 k displaystyle scriptstyle sqrt 8 k 峰度12 k displaystyle 12 k 熵k 2 ln 2 G k 2 1 k 2 ps k 2 displaystyle begin aligned frac k 2 amp ln 2 Gamma k 2 amp 1 k 2 psi k 2 end aligned 矩生成函数 1 2 t k 2 displaystyle 1 2 t k 2 2 t lt 1 displaystyle 2 t lt 1 特徵函数 1 2 i t k 2 displaystyle 1 2 i t k 2 1 由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度 例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比 同一母體的兩個随机变量是否独立 例如人的身高與交通違規的關聯性 二或多個母體同一屬性的同質性檢定 義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距 詳見皮爾森卡方檢定 目录 1 数学定义 2 性质 2 1 概率密度函数 2 2 累积分布函数 2 3 卡方變數與Gamma變數的關系 2 4 可加性 2 5 偏差的平方和 3 卡方分布表 4 参考文献 5 外部链接数学定义 编辑若k个随机变量Z 1 displaystyle Z 1 nbsp Z k displaystyle Z k nbsp 是相互独立且符合标准正态分布的随机变量 数学期望为0 方差为1 则随机变量Z的平方和 X i 1 k Z i 2 displaystyle X sum i 1 k Z i 2 nbsp 被称为服从自由度为 k 的卡方分布 记作 X x 2 k displaystyle X sim chi 2 k nbsp X x k 2 displaystyle X sim chi k 2 nbsp 性质 编辑可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质 概率密度函数 编辑 卡方分布的概率密度函数为 f k x 1 2 k 2 G k 2 x k 2 1 e x 2 displaystyle f k x frac 1 2 frac k 2 Gamma frac k 2 x frac k 2 1 e frac x 2 nbsp 其中x 0 displaystyle x geq 0 nbsp 当x 0 displaystyle x leq 0 nbsp 时f k x 0 displaystyle f k x 0 nbsp 这里G代表Gamma函数 累积分布函数 编辑 卡方分布的累积分布函数为 F k x g k 2 x 2 G k 2 displaystyle F k x frac gamma Bigl frac k 2 frac x 2 Bigr Gamma frac k 2 nbsp 其中g k z 为不完全G函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表 此外许多表格计算软件如OpenOffice org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数 自由度为k的卡方变量的平均值是k 方差是2k 卡方分布是伽玛分布的一个特例 它的熵为 H f x ln f x d x k 2 ln 2 G k 2 1 k 2 ps k 2 displaystyle H int infty infty f x ln f x dx frac k 2 ln left 2 Gamma left frac k 2 right right left 1 frac k 2 right psi k 2 nbsp 其中ps x displaystyle psi x nbsp 是雙伽瑪函數 卡方變數與Gamma變數的關系 编辑 當Gamma變數 頻率 l 為1 2時 a 的2倍為卡方變數之自由度 即 r v Y x 2 U G a U 2 l 1 2 displaystyle r v Y chi 2 left U right Gamma left alpha frac U 2 lambda frac 1 2 right nbsp E x 2 U E Y a l U 2 1 2 U displaystyle operatorname E left chi 2 left U right right operatorname E left Y right frac alpha lambda frac frac U 2 frac 1 2 U nbsp Var x 2 U Var Y a l 2 U 2 1 2 2 2 U displaystyle operatorname Var left chi 2 left U right right operatorname Var left Y right frac alpha lambda 2 frac frac U 2 left frac 1 2 right 2 2U nbsp 卡方變數之期望值 自由度 卡方變數之方差 两倍自由度 可加性 编辑 由定义可得 独立卡方变量之和同样服从卡方分布 特别地 若X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n nbsp 分别独立服从自由度为k 1 k 2 k n displaystyle k 1 k 2 dots k n nbsp 的卡方分布 那么它们的和 i 1 n X i displaystyle sum i 1 n X i nbsp 服从自由度为 i 1 n k i displaystyle sum i 1 n k i nbsp 的卡方分布 偏差的平方和 编辑 若k个随机变量Z 1 displaystyle Z 1 nbsp Z k displaystyle Z k nbsp 是相互独立 符合标准正态分布的随机变量 则它们与均值之间偏差的平方和X i 1 k Z i Z 2 x k 1 2 displaystyle X sum i 1 k Z i bar Z 2 sim chi k 1 2 nbsp 其中均值Z 1 k i 1 k Z i displaystyle bar Z frac 1 k sum i 1 k Z i nbsp 它的平方正比于自由度为1的卡方分布 即n Z 2 x 1 2 displaystyle n bar Z 2 sim chi 1 2 nbsp 卡方分布表 编辑p value 1 p CDF x2越大 p value越小 則可信度越高 通常用p 0 05作为閾值 即95 的可信度 常用的x2与p value表如下 自由度k P value 概率 0 95 0 90 0 80 0 70 0 50 0 30 0 20 0 10 0 05 0 01 0 001 1 0 004 0 02 0 06 0 15 0 46 1 07 1 64 2 71 3 84 6 64 10 83 2 0 10 0 21 0 45 0 71 1 39 2 41 3 22 4 60 5 99 9 21 13 82 3 0 35 0 58 1 01 1 42 2 37 3 66 4 64 6 25 7 82 11 34 16 27 4 0 71 1 06 1 65 2 20 3 36 4 88 5 99 7 78 9 49 13 28 18 47 5 1 14 1 61 2 34 3 00 4 35 6 06 7 29 9 24 11 07 15 09 20 52 6 1 63 2 20 3 07 3 83 5 35 7 23 8 56 10 64 12 59 16 81 22 46 7 2 17 2 83 3 82 4 67 6 35 8 38 9 80 12 02 14 07 18 48 24 32 8 2 73 3 49 4 59 5 53 7 34 9 52 11 03 13 36 15 51 20 09 26 12 9 3 32 4 17 5 38 6 39 8 34 10 66 12 24 14 68 16 92 21 67 27 88 10 3 94 4 86 6 18 7 27 9 34 11 78 13 44 15 99 18 31 23 21 29 59参考文献 编辑 M A Sanders Characteristic function of the central chi squared distribution PDF 2009 03 06 原始内容 PDF 存档于2011 07 15 chi 的读音是 kaɪ 与 開 字的普通话发音相同 外部链接 编辑卡方分配與卡方檢定 页面存档备份 存于互联网档案馆 分布计算器 页面存档备份 存于互联网档案馆 英文 取自 https zh wikipedia org w index php title 卡方分佈 amp oldid 76580748, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,