皮爾森卡方檢定

皮爾森卡方檢定（英語：Pearson's chi-squared test）是最有名卡方檢定之一（其他常用的卡方檢定還有葉氏連續校正（英语：Yates's correction for continuity）、似然比檢定（英语：Likelihood-ratio test）、一元混成检验（英语：Portmanteau test）等等－－它們的統計值之機率分配都近似於卡方分配，故稱卡方檢定）。「皮爾森卡方檢定」最早由卡爾·皮爾森在1900年發表，^[1] 用於類別變數的檢定。科學文獻中，當提及卡方檢定而沒有特別指明類型時，通常即指皮爾森卡方檢定。

原假設

「皮爾森卡方檢定」的虛無假設（H₀）是：一個樣本中已發生事件的次數分配會遵守某個特定的理論分配。

在虛無假設的句子中，「事件」必須互斥，並且所有事件總機率等於1。或者說，每個事件是類別變數（英語：categorical variable）的一種類別或級別（英語：level）。

簡單的例子：常見的六面骰子，事件＝丟骰子的結果（可能是1~6任一個）屬於類別變數，每一面都是此變數的一種（一個級別）結果，每種結果互斥（1不是2, 3, 4, 5, 6; 2不是1, 3, 4 ...），六面的機率總和等於1。

用途和步驟

「皮爾森卡方檢定」可用於兩種情境的變項比較：適配度檢定（英语：Goodness of Fit test）和獨立性檢定。

• 「適配度檢定」驗證一組觀察值的次數分配是否異於理論上的分配。
• 「獨立性檢定」驗證從兩個變數抽出的配對觀察值組是否互相獨立（例如：每次都從A國和B國各抽一個人，看他們的反應是否與國籍無關）。

不管哪個檢定都包含三個步驟：

1. 計算卡方檢定的統計值「 ${\displaystyle \chi ^{2}}$  」：把每一個觀察值和理論值的差做平方後、除以理論值、再加總。
2. 計算 ${\displaystyle \chi ^{2}}$  統計值的自由度「${\displaystyle df}$ 」。
3. 依據研究者設定的置信水平（顯著性水平、P值或對應Alpah值），查出自由度為 ${\displaystyle df}$  的卡方分配臨界值，比較它與第1步驟得出的 ${\displaystyle \chi ^{2}}$  統計值，推論能否拒絕虛無假說。

適合度檢定

適配度檢定（英語：Goodness of Fit test）：測試樣本的機率分配與母體有多相似。

母體假設為離散型均勻分配

當理論上的母體分配為每個類別機率一致時，即應適用離散型均勻分配的計算方法。 ${\displaystyle N}$  個觀察值於理論上應均勻分配在所有的 ${\displaystyle m}$  個欄位（類別）中，因此每個欄位（類別）的「理論次數」（或期望次數）為：

${\displaystyle E_{i}={\frac {N}{m}}}$ ，其中 ${\displaystyle i=1,2,...,m}$ 

自由度 ${\displaystyle df=m-1}$  。「${\displaystyle m}$ 」是總共要計算離差平方的個數（每個類別計算一次觀察值與理論值的差，再平方）。「${\displaystyle -1}$ 」是因為對於計算${\displaystyle \chi ^{2}}$ 而言只有一個限制條件：觀察值的個數總和為 ${\displaystyle N}$ 。

母體假設為其他種分配

貝氏算法

例子

獨立性檢定

在同一個個體（例如：同一個人）身上有兩個二元變數（X, Y），例如 X（男／女）和 Y（右撇子／左撇子），觀察兩個變數的相關性。虛無假設是：兩個變數呈統計獨立性。在本例中：性別與慣用手是獨立事件。

• 首先，每個觀察值（每個抽出的人）會被重新編排到一個叫做「列聯表」（英語：contingency table，又稱：條件次數表）的二維表格裡。本例的列聯表是2×2的構造（不算入Total欄位）：

	男	女	總計
右	43	44	87
左	9	4	13
總計	52	48	100

• 如果列聯表共有 r 行 c 列，那麽在獨立事件的假設下，每個欄位的「理論次數」（或期望次數）為：

${\displaystyle E_{i,j}={\frac {\left(\sum _{n_{c}=1}^{c}O_{i,n_{c}}\right)\cdot \left(\sum _{n_{r}=1}^{r}O_{n_{r},j}\right)}{N}}}$ ，

其中 N 是樣本大小（觀察值的個數，亦即2×2列聯表所有欄位的總和，本例：N = 100）。本例的各欄位期望值如下（括號裡的數字）：

	男	女	總計
右	43 (45.24)	44 (41.76)	87
左	9 (6.76)	4 (6.24)	13
總計	52	48	100

• ${\displaystyle \chi ^{2}}$ 統計值的公式是：

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{c}{(O_{i,j}-E_{i,j})^{2} \over E_{i,j}}.}$ 

本例的${\displaystyle \chi ^{2}}$ 統計值是：

${\displaystyle \chi ^{2}=(43-45.24)^{2}/45.24+(44-41.76)^{2}/41.76+(9-6.76)^{2}/6.76+(4-6.24)^{2}/6.24=1.777}$ 

• 自由度 ${\displaystyle df=(r-1)(c-1)}$  是這樣得出：雖然總共要計算 ${\displaystyle rc}$  個離差平方（每個欄位計算一次觀察值與理論值的差，再平方），但 X 變數有1個限制條件（樣本抽出後，男性的人數即固定），Y 變數也有1個限制條件（樣本抽出後，右撇子的人數即固定），所以可自由變動的欄位數只有 ${\displaystyle (r-1)(c-1)}$ 。

在本例中${\displaystyle df=(2-1)\times (2-1)=1}$ 。

• 在${\displaystyle \chi ^{2}=1.777,df=1}$  的條件下，得出卡方分配右尾機率${\displaystyle p=0.1825}$  ，無法拒絕虛無假設，亦即：無法拒絕性別變數與慣用手變數互相獨立的假設。

限制

1. 如果個別欄位的期望次數太低，會使機率分配無法近似於卡方分配。一般要求：自由度 ${\displaystyle df>1}$ 時，期望次數小於5的欄位不多於總欄位的20%。
2. 若自由度 ${\displaystyle df=1}$ ，且若期望次數 ${\displaystyle <10}$  ，則近似於卡方分配的假設不可信。此時可以將每個觀察值的離差減去 ${\displaystyle 0.5}$  之後再做平方，這便是葉慈連續校正（英语：Yates's correction for continuity）。

参考文献

引用

1. Karl Pearson. X. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science: 157–175. doi:10.1080/14786440009463897. 

• 卡方分配與卡方檢定 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

期刊文章

• Herman Chernoff, E. L. Lehmann. The Use of Maximum Likelihood Estimates in $\chi^2$ Tests for Goodness of Fit. The Annals of Mathematical Statistics. 1954-09, 25 (3): 579–586 [2018-04-02]. ISSN 0003-4851. doi:10.1214/aoms/1177728726. （原始内容于2021-02-26） （英语）. 
• R. L. Plackett. Karl Pearson and the Chi-Squared Test. International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique. 1983, 51 (1): 59–72 [2018-04-02]. doi:10.2307/1402731. （原始内容于2021-04-16）. 

书籍

• Nikulin, Priscilla E. Greenwood ; Mikhail S. A guide to chi-squared testing. New York, NY [u.a.]: Wiley. 1996. ISBN 047155779X.