Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.
Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.
九月 25, 2023
勒壤得轉換, 英語, legendre, transformation, 是一個在數學和物理中常見的技巧, 得名於阿德里安, 馬裡, 勒壤得, adrien, marie, legendre, 该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换, 它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导, 热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解, 圖展示出函數, displaystyle, 函數用紅色表示, 在切點, displaystyle, 的切線用藍色表示, 切線與, 軸相交於點, displaystyle, 這裏. 勒壤得轉換 英語 Legendre transformation 是一個在數學和物理中常見的技巧 得名於阿德里安 馬裡 勒壤得 Adrien Marie Legendre 该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换 它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导 热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解 xy 圖展示出函數 f x displaystyle f x 的勒壤得轉換 函數用紅色表示 在切點 x 0 f x 0 displaystyle x 0 f x 0 的切線用藍色表示 切線與 y 軸相交於點 0 f displaystyle 0 f 這裏 f displaystyle f 是勒壤得轉換 f p 0 displaystyle f p 0 的值 p 0 f x 0 displaystyle p 0 dot f x 0 特別注意 穿過在紅線上任何其它點 而擁有同樣斜率 f x 0 displaystyle dot f x 0 的直線 其與 y 軸相交點必定比點 0 f displaystyle 0 f 高 證明 f displaystyle f 確實是極大值 目录 1 概述 2 定義 2 1 从导数的角度理解勒让德变换 2 2 最大值式定義 2 3 反函數式定義 3 數學性質 3 1 標度性質 3 2 平移性質 3 3 反演性質 3 4 線形變換性質 4 例子 4 1 例一 5 應用 5 1 熱力學 5 2 古典力學 哈密頓力學 5 3 正則變換 6 參閱 7 參考文獻概述 编辑為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構 表述此系統的函數關係 f x displaystyle f x nbsp 改用一個新函數 f p displaystyle f star p nbsp 來表示 其變數 p displaystyle p nbsp 是 f x displaystyle f x nbsp 的導數 p d f d x displaystyle p frac mathrm d f mathrm d x nbsp 而 f p displaystyle f star p nbsp 的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距換句話說 從 x f x displaystyle x f x nbsp x 值到 y 值的函數 轉換成 p f p displaystyle p f star p nbsp f x 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數這程序是由阿德里安 馬裡 勒壤得所發明的 因此稱為勒壤得轉換 稱函數 f p displaystyle f star p nbsp 為 f x displaystyle f x nbsp 的勒壤得轉換 用方程式表示 f p p u f u d p u f u d u 0 displaystyle f star p pu f u mathrm d pu f u over mathrm d u 0 nbsp 此式子表示 f p p u f u displaystyle f star p pu f u nbsp 中的 u 對 f p displaystyle f star p nbsp 而言是個參數 且參數 u 會滿足 d p u f u d u 0 displaystyle mathrm d pu f u over mathrm d u 0 nbsp 的 u displaystyle u nbsp 即求算表達式關於變數 u displaystyle u nbsp 的極值 為方便討論 把討論限定在 f x displaystyle f x nbsp 為嚴格單調遞增 會有這方程式是因為在 p f x 0 displaystyle p f x 0 nbsp 也就是斜率不變的狀況下 對每個x 0 displaystyle x 0 nbsp 而言 所有與曲線 u f u displaystyle u f u nbsp 相交且斜率為f x 0 displaystyle f x 0 nbsp 的直線族為 y f x 0 x u f u displaystyle y f x 0 x u f u nbsp 若令u x 0 displaystyle u x 0 nbsp 該直線即是f x displaystyle f x nbsp 在x 0 displaystyle x 0 nbsp 的切線方程式 把x當作常數並由右圖直接觀察可知 在u x 0 displaystyle u x 0 nbsp 的情況下 y f x 0 x u f u f x 0 x f x 0 u f u displaystyle y f x 0 x u f u f x 0 x f x 0 u f u nbsp 值是最小的 也就是說直線方程式中 f x 0 u f u displaystyle f x 0 u f u nbsp 這部分是最大的 而正好 f p p u f u d p u f u d u 0 displaystyle f star p pu f u mathrm d pu f u over mathrm d u 0 nbsp 正是原方程式所求的極值 勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係 duality 的一個應用 函數 f x displaystyle f x nbsp 設定的函數關係可以用 x y f x displaystyle x y f x nbsp 點集合來表示 也可以用切線 在嚴格單調遞增的討論下 切線跟導數p有一對一的關係 集合表示 若將勒壤得轉換廣義化 則會變為勒壤得 芬伽轉換 Legendre Fenchel transformation 勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學 定義 编辑给定区间I ℝ 和凸函数f I ℝ 则其勒让德变换为函数f I ℝ f x sup x I x x f x x I displaystyle f x sup x in I x x f x quad x in I nbsp 其中sup displaystyle sup nbsp 表示上确界 定义域I displaystyle I nbsp 为 I x R sup x I x x f x lt displaystyle I left x in mathbb R sup x in I x x f x lt infty right nbsp 当f x 为凸函数时 这个函数有良好的定义 不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ℝn 上的凸函数f X ℝ 其变换f X ℝ 为定义在 X x R n sup x X x x f x lt displaystyle X left x in mathbb R n sup x in X langle x x rangle f x lt infty right nbsp 上的函数 f x sup x X x x f x x X displaystyle f x sup x in X langle x x rangle f x quad x in X nbsp 其中 x x displaystyle langle x x rangle nbsp 表示x 和 x 的点积 从导数的角度理解勒让德变换 编辑 对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数f displaystyle f nbsp 其勒让德变换 f displaystyle f nbsp 的一阶导数与f displaystyle f nbsp 的一阶导数互为反函数 反过来说 这个条件可以给出至多相差一个常数的f displaystyle f nbsp 最大值式定義 编辑 更詳細地定義勒壤得轉換 為了求得 L x p p x f x displaystyle L x p px f x nbsp 關於 x displaystyle x nbsp 的最大值 設定 L x p displaystyle L x p nbsp 關於 x displaystyle x nbsp 的偏導數為零 x p x f x p d f x d x 0 displaystyle frac partial partial x left px f x right p mathrm d f x over mathrm d x 0 nbsp 則 p d f x d x displaystyle p mathrm d f x over mathrm d x nbsp 1 這表達式必為最大值 因為 凸函數 L x p displaystyle L x p nbsp 的二阶导数是負數 2 x 2 x p f x d 2 f x d x 2 lt 0 displaystyle frac partial 2 partial x 2 xp f x mathrm d 2 f x over mathrm d x 2 lt 0 nbsp 用方程式 1 來計算函數 f displaystyle f nbsp 的反函數 x g p displaystyle x g p nbsp 代入 L x p displaystyle L x p nbsp 方程式 即可以得到想要的形式 f p g p p f g p displaystyle f star p g p p f g p nbsp 計算 f x displaystyle f x nbsp 的勒壤得轉換 所需的步驟為 找出导函數 p d f d x displaystyle p frac mathrm d f mathrm d x nbsp 計算导函數 p d f d x displaystyle p frac mathrm d f mathrm d x nbsp 的反函數 x g p displaystyle x g p nbsp 代入 F x displaystyle F x nbsp 方程式來求得新函數 f p g p p f g p displaystyle f star p g p p f g p nbsp 這定義切確地闡明 勒壤得轉換製造出一個新函數 f p displaystyle f star p nbsp 其新自變數為 p d f d x displaystyle p mathrm d f over mathrm d x nbsp 反函數式定義 编辑 另外一種勒壤得轉換的定義是 假若兩個函數 f x displaystyle f x nbsp 與 f p displaystyle f star p nbsp 的一階導數是互相的反函數 d d x f x d d p f 1 x displaystyle frac mathrm d mathrm d x f x left frac mathrm d mathrm d p f right 1 x nbsp 或者 d d p f p d d x f 1 p displaystyle frac mathrm d mathrm d p f p left frac mathrm d mathrm d x f right 1 p nbsp 則 f displaystyle f nbsp 與 f displaystyle f star nbsp 互相為彼此的勒壤得轉換 依照定義 d f x d x p displaystyle mathrm d f x over mathrm d x p nbsp d f p d p x displaystyle mathrm d f star p over mathrm d p x nbsp 思考下述運算 d d p x p f x x p d x d p d f d x d x d p x d f p d p x displaystyle frac mathrm d mathrm d p xp f x x p frac mathrm d x mathrm d p frac mathrm d f mathrm d x frac mathrm d x mathrm d p x mathrm d f star p over mathrm d p x nbsp 所以 f p x p f x g p p f g p displaystyle f star p xp f x g p p f g p nbsp 這裏 x g p displaystyle x g p nbsp 這答案是標準答案 但並不是唯一的答案 設定 f p f x x p displaystyle f star p f x xp nbsp 也可以滿足定義的要求 在某些情況下 例如 熱力勢 thermodynamic potential 會採用非標準的答案 除非另外註明 此頁面一律採用標準答案 數學性質 编辑以下討論 函數 f displaystyle f nbsp 的勒壤得轉換皆標記為 f displaystyle f star nbsp 標度性質 编辑 勒壤得轉換有以下這些標度性質 f x a g x f p a g p a displaystyle f x a cdot g x rightarrow f star p a cdot g star left frac p a right nbsp f x g a x f p g p a displaystyle f x g a cdot x rightarrow f star p g star left frac p a right nbsp 由此可知 一個 r displaystyle r nbsp 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 s displaystyle s nbsp 次齊次函數 這裏 1 r 1 s 1 displaystyle frac 1 r frac 1 s 1 nbsp 平移性質 编辑 f x g x b f p g p b displaystyle f x g x b rightarrow f star p g star p b nbsp f x g x y f p g p p y displaystyle f x g x y rightarrow f star p g star p p cdot y nbsp 反演性質 编辑 f x g 1 x f p p g 1 p displaystyle f x g 1 x rightarrow f star p p cdot g star left frac 1 p right nbsp 線形變換性質 编辑 讓 A displaystyle A nbsp 成為一個從 R n displaystyle R n nbsp 到 R m displaystyle R m nbsp 的線形變換 對於任何定義域為 R n displaystyle R n nbsp 的凸函數 f displaystyle f nbsp 必有 A f f A displaystyle left Af right star f star A star nbsp 這裏 A displaystyle A star nbsp 是 A displaystyle A nbsp 的伴隨算子定義為 A x y x A y displaystyle left langle Ax y star right rangle left langle x A star y star right rangle nbsp 例子 编辑例一 编辑 nbsp ex 红色实线 与其勒让德变换 蓝色虚线 指数函数 f x e x displaystyle f x e x nbsp 的勒让德变换为 f p p ln p 1 displaystyle f p p ln p 1 nbsp 因为它们的一阶导数 ex 与 ln p 互为反函数 應用 编辑熱力學 编辑 在熱力學裏 使用勒壤得轉換主要的目的是 將一個函數與所含有的一個自變數 轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數 此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數 將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積 得到的差就是新函數 勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢 thermodynamic potential 之間作轉換 例如 內能 U displaystyle U nbsp 是外延量 extensive 熵 S displaystyle S nbsp 體積 V displaystyle V nbsp 與化學成份 chemical composition N i displaystyle N i nbsp 的顯函數 U U S V N i displaystyle U U S V N i nbsp 對於 P V displaystyle PV nbsp 函數 U displaystyle U nbsp 非標準的 勒壤得轉換為焓函數 H displaystyle H nbsp H S P N i U P V displaystyle H S P N i U PV nbsp P U V S N i displaystyle P left frac partial U partial V right S N i nbsp 一個熵與內含量 intensive 壓力的函數 當壓力是常數時 這函數很有用 對於 T S displaystyle TS nbsp 函數 H displaystyle H nbsp 勒壤得轉換為吉布斯能函數 G displaystyle G nbsp G T P N i H T S displaystyle G T P N i H TS nbsp T H S P N i displaystyle T left frac partial H partial S right P N i nbsp 對於 T S displaystyle TS nbsp 函數 U displaystyle U nbsp 勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數 A displaystyle A nbsp A T V N i U T S displaystyle A T V N i U TS nbsp T U S V N i displaystyle T left frac partial U partial S right V N i nbsp 這些自由能函數時常用在常溫的物理系統 古典力學 哈密頓力學 编辑 在經典力學裏 勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述 或反導之 拉格朗日量 L displaystyle mathcal L nbsp 是廣義坐標 q q 1 q 2 q N displaystyle mathbf q q 1 q 2 dots q N nbsp 與廣義速度 q displaystyle dot mathbf q nbsp 的函數 而哈密頓量 H displaystyle mathcal H nbsp 將函數的自變量轉換為廣義坐標 q displaystyle mathbf q nbsp 與廣義動量 p p 1 p 2 p N displaystyle mathbf p p 1 p 2 dots p N nbsp p L q displaystyle mathbf p frac partial mathcal L partial dot mathbf q nbsp H q p t p q L q q q p t t displaystyle mathcal H mathbf q mathbf p t mathbf p cdot dot mathbf q mathcal L mathbf q dot mathbf q mathbf q mathbf p t t nbsp 正則變換 编辑 正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏 正則變換是一種正則坐標的改變 q p Q P displaystyle mathbf q mathbf p rightarrow mathbf Q mathbf P nbsp 而同時維持哈密頓方程式的形式 雖然哈密頓量可能會改變 正則變換的方程式為 K P Q displaystyle frac partial mathcal K partial mathbf P dot mathbf Q nbsp K Q P displaystyle frac partial mathcal K partial mathbf Q dot mathbf P nbsp p q H P Q K d G d t displaystyle mathbf p cdot dot mathbf q mathcal H mathbf P cdot dot mathbf Q mathcal K frac dG dt nbsp 這裏 q p displaystyle mathbf q mathbf p nbsp 是舊正則坐標 Q P displaystyle mathbf Q mathbf P nbsp 是新正則坐標 H displaystyle mathcal H nbsp 是舊哈密頓量 K displaystyle mathcal K nbsp 是新哈密頓量 G displaystyle G nbsp 是生成函數 參閱 编辑哈密頓力學 切觸幾何 正則變換參考文獻 编辑Arnold Vladimir Mathematical Methods of Classical Mechanics second edition Springer 1989 ISBN 0 387 96890 3 Rockafellar Ralph Tyrell Convex Analysis Princeton University Press 1996 ISBN 0 691 01586 4 取自 https zh wikipedia org w index php title 勒壤得轉換 amp oldid 76490710, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,