正則變換生成函數

在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，生成函數扮演的角色，好似在兩組正則坐標 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$ ，${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}}$ ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})}$ 是舊廣義坐標，${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})}$ 是舊廣義動量，${\displaystyle \mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})}$ 是新廣義坐標，${\displaystyle \mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})}$ 是新廣義動量，${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$ 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量，${\displaystyle G(-,\ -,\ t)}$ 是生成函數，${\displaystyle t}$ 是時間。

生成函數 ${\displaystyle G}$ 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ 保證是正則變換。

生成函數列表

生成函數	導數
${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\ ,\qquad \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$
${\displaystyle G=G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)-\mathbf {Q} \mathbf {P} }$	${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\ ,\qquad \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$
${\displaystyle G=G_{3}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)+\mathbf {q} \mathbf {p} }$	${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\ ,\qquad \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$
${\displaystyle G=G_{4}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+\mathbf {q} \mathbf {p} -\mathbf {Q} \mathbf {P} }$	${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\ ,\qquad \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$

第一型生成函數

第一型生成函數 ${\displaystyle G_{1}}$  只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$  。

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數，

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$  。

新廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$  和舊廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  都是自變量，其對於時間的全導數 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}}$  和 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$  互相無關，所以，以下 ${\displaystyle 2N+1}$  個方程式都必須成立：

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}}$  ，(2)

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$  ，(3)

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$  。(4)

這 ${\displaystyle 2N+1}$  個方程式設定了變換 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$  ，步驟如下：

第一組的 ${\displaystyle N}$  個方程式 (2) ，設定了 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  的 ${\displaystyle N}$  個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$  。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$  的 ${\displaystyle N}$  個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$  。(5)

第二組的 ${\displaystyle N}$  個方程式 (3) ，設定了 ${\displaystyle \mathbf {P} }$  的 ${\displaystyle N}$  個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$  。

代入函數方程式 (5) ，可以算出 ${\displaystyle \mathbf {P} }$  的 ${\displaystyle N}$  個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$  。(6)

從 ${\displaystyle 2N}$  個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 ${\displaystyle 2N}$  個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  ，

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  。

代入新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  的方程式 (4) ，可以得到

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  。

第二型生成函數

第二型生成函數 ${\displaystyle G_{2}}$  只跟舊廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  、新廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {P} }$  有關 ：

${\displaystyle G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  ；

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數：

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$  。

由於舊廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  與新廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {P} }$  必須彼此無關，以下 ${\displaystyle 2N+1}$  方程式必須成立：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$  ，(7)　

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$  ，(8)

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$  。(9)

這 ${\displaystyle 2N+1}$  個方程式設定了變換 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$  。步驟如下：

第一組的 ${\displaystyle N}$  個方程式 (7) ，設定了 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  的函數方程式

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 ${\displaystyle \mathbf {P} }$  的函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$  。(10)

第二組的 ${\displaystyle N}$  個方程式 (8) ，設定了的函數方程式

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  。

代入函數方程式 (10) ，可以算出 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$  函數方程式

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$  。(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ，可以算出函數方程式

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  ，

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  。

代入新哈密頓量的方程式 (9) ，則可得到

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  。

第三型生成函數

第三型生成函數只跟舊廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  、新廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$  有關：

${\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$  。

以下 ${\displaystyle 2N+1}$  方程式設定了變換 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$  ：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$  ，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$  ，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$  。

第四型生成函數

第四型生成函數 ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$  只跟舊廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  、新廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {P} }$  有關：

${\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$  。

以下 ${\displaystyle 2N+1}$  方程式設定了變換 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$  ：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$  ，

${\displaystyle \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$  ，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$  。

實例 1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

${\displaystyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$  。

方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分別為

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} }$  ，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} }$  ，

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$  。

實例 2

再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓

${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} }$  ；

這裏， ${\displaystyle \mathbf {g} }$  是一組 ${\displaystyle N}$  個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)}$  。

實例 3

有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像諧振子的哈密頓量，

${\displaystyle {\mathcal {H}}=aP^{2}+bQ^{2}}$  。

例如，假若哈密頓量為

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}}}$  ；(12)

這裏，${\displaystyle p}$  是廣義動量，${\displaystyle q}$  是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

${\displaystyle P=pq^{2}}$  ，(13)

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{q}}}$  。(14)

代入方程式 (12) ，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同：

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}}}$ 

這變換用的是第三型生成函數 ${\displaystyle G_{3}(p,\ Q)}$  ；其對於 ${\displaystyle Q}$  的導數是

${\displaystyle {\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-P}$  。

代入方程式 (13) 、(14) ，

${\displaystyle {\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-{\frac {p}{Q^{2}}}}$  。

對於 ${\displaystyle Q}$  積分，可以得到生成函數 ${\displaystyle G_{3}}$  ：

${\displaystyle G_{3}(p,\ Q)={\frac {p}{Q}}}$  。

最後，檢查答案是否正確：

${\displaystyle q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}}$  。

參閱

• 哈密頓-亞可比方程式
• 帕松括號
• 正則變換列表

參考文獻

• Goldstein, Herbert. Classical Mechanics. Addison Wesley. 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.