协方差, 在機率論與統計學中, 共變異數, 英語, covariance, 用於衡量随机变量間的相關程度, covariance, 的各地常用譯名中国大陸臺灣共變異數港澳協方差日本, 韓國共分散兩變數x與y在3種不同的共變異數情況下的關係目录, 定義, 矩阵, 性質, 統計獨立, 計算性質, 相關係數, 参见定義, 编辑定義, displaystyle, omega, nbsp, 為样本空间, displaystyle, nbsp, 是定義在, displaystyle, omega, nbsp, 的事件族, di. 在機率論與統計學中 共變異數 英語 Covariance 用於衡量随机变量間的相關程度 Covariance 的各地常用譯名中国大陸协方差臺灣共變異數港澳協方差日本 韓國共分散兩變數X與Y在3種不同的共變異數情況下的關係目录 1 定義 2 协方差矩阵 3 性質 3 1 統計獨立 3 2 計算性質 4 相關係數 5 参见定義 编辑定義 設 W displaystyle Omega nbsp 為样本空间 P displaystyle P nbsp 是定義在 W displaystyle Omega nbsp 的事件族 S displaystyle Sigma nbsp 上的機率 換句話說 W S P displaystyle Omega Sigma P nbsp 是個機率空間 若 X displaystyle X nbsp 与 Y displaystyle Y nbsp 是定義在 W displaystyle Omega nbsp 上的兩個实数随机变量 期望值分别为 E X W X d P m displaystyle operatorname E X int Omega X dP mu nbsp E Y W Y d P n displaystyle operatorname E Y int Omega Y dP nu nbsp 則兩者間的协方差定义为 cov X Y E X m Y n displaystyle operatorname cov X Y operatorname E X mu Y nu nbsp 根據測度積分的線性性質 上面的原始定義可以進一步簡化為 cov X Y W X m Y n d P W X Y d P m W Y d P n W X d P m n E X Y m n displaystyle begin aligned operatorname cov X Y amp int Omega X mu Y nu dP amp int Omega X cdot Y dP mu int Omega Y dP nu int Omega X dP mu nu amp operatorname E X cdot Y mu nu end aligned nbsp 协方差矩阵 编辑协方差的定義可以推廣到兩列隨機變數之間 定義 設 W S P displaystyle Omega Sigma P nbsp 是機率空間 X x i i 1 m displaystyle X x i i 1 m nbsp 与 Y y j j 1 n displaystyle Y y j j 1 n nbsp 是定義在 W displaystyle Omega nbsp 上的兩列实数随机变量序列 也可視為有序对或行向量 若二者对应的期望值分别为 E x i W x i d P m i displaystyle E x i int Omega x i dP mu i nbsp E y j W y j d P n j displaystyle E y j int Omega y j dP nu j nbsp 則这两列隨機变量间的协方差定义成一個 m n displaystyle m times n nbsp 矩阵 c o v X Y cov x i y j m n displaystyle operatorname mathbf cov X Y left operatorname cov x i y j right m times n nbsp 以上的定義 以矩形來表示就是 c o v X Y cov x 1 y 1 cov x 1 y n cov x m y 1 cov x m y n E x 1 y 1 m 1 n 1 E x 1 y n m 1 n n E x m y 1 m m n 1 E x m y n m m n n displaystyle operatorname mathbf cov X Y begin bmatrix operatorname cov x 1 y 1 amp dots amp operatorname cov x 1 y n vdots amp ddots amp vdots operatorname cov x m y 1 amp dots amp operatorname cov x m y n end bmatrix begin bmatrix operatorname E x 1 y 1 mu 1 nu 1 amp dots amp operatorname E x 1 y n mu 1 nu n vdots amp ddots amp vdots operatorname E x m y 1 mu m nu 1 amp dots amp operatorname E x m y n mu m nu n end bmatrix nbsp 性質 编辑統計獨立 编辑 定理 若隨機變數 X displaystyle X nbsp 和 Y displaystyle Y nbsp 是相互独立的 則 cov X Y 0 displaystyle operatorname cov X Y 0 nbsp 計算性質 编辑 如果X displaystyle X nbsp 与Y displaystyle Y nbsp 是实数随机变量 a displaystyle a nbsp 与b displaystyle b nbsp 是常数 那么根据协方差的定义可以得到 cov X X var X displaystyle operatorname cov X X operatorname var X nbsp cov X Y cov Y X displaystyle operatorname cov X Y operatorname cov Y X nbsp cov a X b Y a b cov X Y displaystyle operatorname cov aX bY ab operatorname cov X Y nbsp 对于随机变量序列X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp 与Y 1 Y m displaystyle Y 1 ldots Y m nbsp 有 cov i 1 n X i j 1 m Y j i 1 n j 1 m cov X i Y j displaystyle operatorname cov left sum i 1 n X i sum j 1 m Y j right sum i 1 n sum j 1 m operatorname cov left X i Y j right nbsp 对于随机变量序列X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp 有 var i 1 n X i i 1 n var X i 2 i j i lt j cov X i X j displaystyle operatorname var left sum i 1 n X i right sum i 1 n operatorname var X i 2 sum i j i lt j operatorname cov X i X j nbsp 相關係數 编辑主条目 皮尔逊积矩相关系数取决于协方差的相关性h displaystyle eta nbsp h cov X Y var X var Y displaystyle eta dfrac operatorname cov X Y sqrt operatorname var X cdot operatorname var Y nbsp 更准确地说是线性相关性 是一个衡量线性独立的无量纲数 其取值在 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 之间 相关性h 1 displaystyle eta 1 nbsp 时称为 完全线性相关 相关性h 1 displaystyle eta 1 nbsp 时称为 完全线性负相关 此时将Y i displaystyle Y i nbsp 对X i displaystyle X i nbsp 作Y X 散点图 将得到一组精确排列在直线上的点 相关性数值介于 1到1之间时 其绝对值越接近1表明线性相关性越好 作散点图得到的点的排布越接近一条直线 相关性为0 因而协方差也为0 的两个随机变量又被称为是不相关的 或者更准确地说叫作 线性无关 线性不相关 这仅仅表明X displaystyle X nbsp 与Y displaystyle Y nbsp 两随机变量之间没有线性相关性 并非表示它们之间一定没有任何内在的 非线性 函数关系 和前面所说的 X displaystyle X nbsp Y displaystyle Y nbsp 二者并不一定是统计独立的 说法一致 参见 编辑變異數 自协方差 协方差矩阵 协方差函数 误差传播 取自 https zh wikipedia org w index php title 协方差 amp oldid 79825035, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,