协方差函数

在概率论和统计学中, 协方差 是一种两个变量如何相关变化的度量，而协方差函数（英語：Covariance function）, 或稱核函数, 描述一个随机过程或随机场中的空间上的协方差。 对于一个随机场或 随机过程 Z(x) 在定义域 D， 一个协方差函数C(x, y) 给出在两个点x 和 y 的值的协方差：

${\displaystyle C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y)).\,}$

C(x, y) 在两种情况下称为 自协方差 函数: 在时间序列 (概念一致，除了x和y 指时间点而不是空间点), 以及在多变量随机场 (指变量自己的协方差，而不是互协方差）.^[1]

可容许性

对点 x₁, x₂, …, x_N ∈ D 为每种线性组合的方差

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$ 

可计算为

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.}$ 

一个函数为有效的协方差函数当且仅当^[2] 这个方差对所有可能的N和权重w₁, …, w_N非负。一个有这种性质的函数成为 正定.

平稳简化

对弱 平稳 随机场, 其中

${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,}$ 

对任意延迟 h, 协方差函数可表示为一元函数：

${\displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,}$ 

称为 协变差图 也是 协方差函数. C(x_i, x_j) 可由 C_s(h) 计算:

${\displaystyle C(x,y)=C_{s}(y-x).\,}$ 

参见

• 变差函数
• 随机场
• 随机过程
• 克里格法
• 自相关函数
• 相关函数

参考文献

1. Wackernagel, Hans. Multivariate Geostatistics. Springer. 2003. 
2. Cressie, Noel A.C. Statistics for Spatial Data. Wiley-Interscience. 1993.