圆锥曲线

圆锥曲线（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲线，是数学、幾何學中透过平切圆锥（嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线

圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯，當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（離心率${\displaystyle e}$）的点的集合是圆锥曲线。对于${\displaystyle 0<e<1}$得到椭圆，对于${\displaystyle e=1}$得到抛物线，对于${\displaystyle e>1}$得到双曲线。

定义

设${\displaystyle F}$ 为定点，${\displaystyle l}$ 为定直线，${\displaystyle e}$ 为正常数，称满足${\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e}$ 的动点${\displaystyle P}$ 的轨迹为圆锥曲线。

其中${\displaystyle F}$ 为其焦点，${\displaystyle l}$ 为准线，${\displaystyle e}$ 为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为${\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )}$ 或${\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}}$ （正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中${\displaystyle \theta }$ 为${\displaystyle PF}$ 与极轴的夹角，${\displaystyle d}$ 为定直线${\displaystyle x=d}$ ，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

当${\displaystyle e=1}$ 时，曲线为抛物线。

当${\displaystyle e\neq 1}$ 时，

当${\displaystyle 0<e<1}$ 时，曲线为椭圆。

当${\displaystyle e>1}$ 时，曲线为双曲线。

圆锥曲线的类型

圆锥曲线	方程	離心率（e）	半焦距（c）	半正焦弦（ℓ）	焦点准线距离（p）
圓	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
橢圓	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
拋物線	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle -\,}$	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
雙曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

 

圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为近似椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质

椭圆（ellipse）

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线（Parabola）

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线（Hyperbola）

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长（2a）。

离心率

 

有固定焦点F和准线的圓（e=0) 、椭圆（e=1/2）、抛物线 (e=1)和双曲线（e=2）。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是${\displaystyle a/e\ }$ ，这里的${\displaystyle a\ }$ 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是${\displaystyle ae\ }$ 。

在圆的情况下，${\displaystyle e=0}$ 且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的${\displaystyle a\ }$ ，${\displaystyle e\ }$ 越接近于1，半短轴就越小。

笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

${\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$ 

此處參數${\displaystyle A\,}$ ，${\displaystyle B\,}$ 和${\displaystyle C\,}$ 不得皆等於${\displaystyle 0\ }$ 。

矩陣表示

上述方程可以使用矩陣表示爲^[1]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0}$ 

亦可以寫作

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0}$ 

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)

下文中記${\displaystyle A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]}$ ，記${\displaystyle A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$ 。

類別

藉由${\displaystyle A_{Q}}$ ，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

• 若${\displaystyle \det(A_{Q})=0}$ ，則圓錐曲線${\displaystyle Q}$ 退化。
• 若${\displaystyle \det(A_{Q})\neq 0}$ ，則圓錐曲線${\displaystyle Q}$ 未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則^[2]

• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})>0}$ , 方程表示一個橢圓；
  • 對於橢圓，當${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})<0}$ 時，${\displaystyle Q}$ 爲一個實橢圓；當${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})>0}$ 時${\displaystyle Q}$ 爲一個虛橢圓。（例如，${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+10=0}$ 沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
  • 特別的，若${\displaystyle A=C}$  ，${\displaystyle B=0}$ 且${\displaystyle D^{2}+E^{2}-4AF>0\,}$ ，作爲橢圓的特殊情況，${\displaystyle Q}$ 表示一個圓。
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$ ，${\displaystyle Q}$ 表示一條拋物線；
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})<0}$ ，${\displaystyle Q}$ 表示一條雙曲線；
  • 若${\displaystyle A+C=0}$  ，${\displaystyle Q}$ 表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

• 若${\displaystyle \det(A_{33})>0}$ ，作爲橢圓的退化，${\displaystyle Q}$ 爲一個點。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})=0}$ ，作爲拋物線的退化，${\displaystyle Q}$ 爲兩條平行直線。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F}$ ，${\displaystyle Q}$ 爲兩條不重合的平行直線。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F}$ ，${\displaystyle Q}$ 爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時${\displaystyle A_{Q}}$ 的秩爲1）
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F}$ ，${\displaystyle Q}$ 直線不存在與實平面中。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})<0}$ ，作爲雙曲線的退化，${\displaystyle Q}$ 爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 爲多項式係數，而非半長軸${\displaystyle A}$ 和半短軸${\displaystyle B}$ 。

不變量

矩陣${\displaystyle A_{Q}}$ 、${\displaystyle A_{33}}$ 的行列式，以及${\displaystyle A+C}$ （${\displaystyle A_{33}}$ 的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。^{[2][3][4] [5]:60–62頁} 常數項${\displaystyle F}$ 以及${\displaystyle D^{2}+E^{2}}$ 僅在旋轉中保持不變。^{[5]:60–62頁}

離心率

${\displaystyle Q}$ 的離心率可被寫作關於${\displaystyle Q}$ 係數的函數。^[6] 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$ ，${\displaystyle Q}$ 爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設${\displaystyle Q}$ 表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$ 

此處若${\displaystyle \det(A_{Q})}$ 爲負則${\displaystyle \eta =1}$ ；若${\displaystyle \det(A_{Q})}$ 爲正則${\displaystyle \eta =-1}$ 。

此外，離心率${\displaystyle e}$ 也是下述方程的一個正根^[5]:89頁

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$ 

此處 ${\displaystyle \Delta =\det(A_{33})}$  。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

轉換爲標準方程

對於橢圓或雙曲線，${\displaystyle Q}$ 可用變換後的變量${\displaystyle x',y'}$ 表示爲如下所示的標準形式^[7]

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,}$ 

或等價的

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,}$ 

此處，${\displaystyle \lambda _{1}}$ 和${\displaystyle \lambda _{2}}$ 爲${\displaystyle A_{33}}$ 的特徵值，也即下述方程的兩根：

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$ 

同時，${\displaystyle S=\det(A_{Q})}$ ，${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})}$ 。

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

方程式	圆	椭圆	抛物线	双曲线
标准方程式	${\displaystyle {x^{2}}+{y^{2}}=a^{2}\ }$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$
参数方程式	${\displaystyle a\cos \theta ,a\sin \theta \,}$	${\displaystyle a\cos \theta ,b\sin \theta \,}$	${\displaystyle at^{2},2at\,}$	${\displaystyle a\sec \theta ,b\tan \theta \,}$ 或 ${\displaystyle \pm a\cosh u,b\sinh u\,}$

极坐标

 

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为${\displaystyle \ell }$ ，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴${\displaystyle a}$ ，和半短轴${\displaystyle b}$ ，通过公式${\displaystyle a\ell =b^{2}\ }$ 或${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ }$ 。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

${\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}$ ，

或者，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )}$ ，

如上，对于${\displaystyle e=0}$ 得到一个圆，对于${\displaystyle 0<e<1}$ 得到椭圆，对于${\displaystyle e=1}$ 得到抛物线，对于${\displaystyle e>1}$ 得到双曲线。

齐次坐标

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

${\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;}$ 

或表示为矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$ 

矩阵${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}}$ 叫做“圆锥曲线矩阵”。

${\displaystyle \Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}}$ 叫做圆锥曲线的行列式。如果${\displaystyle \Delta =0}$ 则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$ 退化为两相交直线：${\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}}$ 。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: ${\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}}$ 。

${\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}}$ 被称为圆锥曲线的判别式。如果${\displaystyle \delta =0}$ 则圆锥曲线是抛物线，如果${\displaystyle \delta <0}$ 则是双曲线，如果${\displaystyle \delta >0}$ 则是椭圆。如果${\displaystyle \delta >0}$ 且${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$ ，圆锥曲线是圆；如果${\displaystyle \delta <0}$ 且${\displaystyle A_{1}=-A_{2}}$ ，它是直角双曲线。可以证明在複射影平面${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ 中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根${\displaystyle >1}$ 的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是${\displaystyle (1,i,0)}$ 和${\displaystyle (1,-i,0)}$ ，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

参考文献

1. Brannan, Esplen & Gray 1999，第30頁 harvnb error: no target: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (help)
2. Protter & Morrey 1970，第326頁 harvnb error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help)
3. Wilson & Tracey 1925，第153頁 harvnb error: no target: CITEREFWilsonTracey1925 (help)
4. Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
5. Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
6. Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
7. Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

外部链接

• Conic sections（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Special plane curves（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Focus. MathWorld. 
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