上极限和下极限

在微积分学中，上極限和下極限（英語：Limit superior and limit inferior）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 ${\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ 的上極限為 1，下極限為 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。^{[註 1]}。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

上极限和下极限的示意图。數列 x_n 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 x_n 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收敛

定义

序列${\displaystyle (x_{n})}$ 的上极限定义是

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$ ；

或者

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$ 。

同样的，序列${\displaystyle x_{n}}$ 的下极限定义是

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$ ；

或者

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$ 。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。 在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当${\displaystyle \liminf x_{n}}$ 和${\displaystyle \limsup x_{n}}$ 都存在，那么

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ 。

上极限和下极限也记为${\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ 和${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ 。

实数数列

实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ，形成完備格。那么在 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$  中数列 ${\displaystyle (x_{n})}$  收敛当且仅当 ${\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}}$ ，而这时 ${\displaystyle \lim x_{n}}$  等于上面的共同值。^{[註 2]}

若實數數列 ${\displaystyle (x_{n})}$  的上極限為實數^{[註 3]}，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 ${\displaystyle \epsilon }$ ，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ${\displaystyle n\geq N}$ ，都有 ${\displaystyle x_{n}<a+\epsilon }$ 。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$  的上界。

若實數數列 ${\displaystyle (x_{n})}$  的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 ${\displaystyle \epsilon }$ ，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ${\displaystyle n\geq N}$ ，都有 ${\displaystyle x_{n}>b-\epsilon }$ 。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$ 的下界。

設 ${\displaystyle (x_{n})}$  是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$  也符合上述條件，故此 a 必是整數。^{[註 4]}在條件中取 ${\displaystyle \epsilon <1}$ ，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 ${\displaystyle n\geq N}$ ，都有 ${\displaystyle x_{n}\leq a}$ 。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 ${\displaystyle x_{n}=a}$ 。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 ${\displaystyle x_{n}=b}$ 。

若 ${\displaystyle I=\liminf x_{n}}$  和 ${\displaystyle S=\limsup x_{n}}$  ，那么区间 ${\displaystyle [I,S]}$  不一定包含任何的 ${\displaystyle x_{n}}$ ，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x_n。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子

• 設${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ ，則${\displaystyle \liminf x_{n}=-1}$ ，${\displaystyle \limsup x_{n}=1}$ 。閉區間[-1, 1]中不包含任何${\displaystyle x_{n}}$ 。
• 考虑数列${\displaystyle x_{n}=\sin \!n}$ 。应用π的无理数性质，可以证明${\displaystyle \liminf x_{n}=-1}$ 和${\displaystyle \limsup x_{n}=+1}$ 。^{[註 5]}

• 一个数论例子是

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})}$ 

其中${\displaystyle {p_{n}}}$ 是第${\displaystyle n}$ 个素数。^{[註 6]}

集的序列

集合X的冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若${\displaystyle X_{n}}$ 是这样的序列，那么X的元素a属于${\displaystyle \liminf X_{n}}$ ，当且仅当存在自然数${\displaystyle n_{0}}$ 使得对于所有${\displaystyle n>n_{0}}$ ，a在${\displaystyle X_{n}}$ 裡。元素a属于${\displaystyle \limsup X_{n}}$ ，当且仅当对所有自然数${\displaystyle n_{0}}$ ，都存在一个指数${\displaystyle n>n_{0}}$ 使得a在${\displaystyle X_{n}}$ 裡。换句话说，${\displaystyle \limsup X_{n}}$ 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合${\displaystyle X_{n}}$ 裡；而${\displaystyle \liminf X_{n}}$ 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在${\displaystyle X_{n}}$ 裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

${\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$ 。

令${\displaystyle I_{n}}$ 为自${\displaystyle X_{n}}$ 起的集合的下确界。那么序列${\displaystyle I_{n}}$ 非递减，因为${\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}$ 。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$ 。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

${\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$ 。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$ 。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

注释

1. 参见函数的极限
2. 注意当只是考虑 R 时，收敛至 ${\displaystyle -\infty }$  或 ${\displaystyle +\infty }$  并不当作收敛，而是視作極限不存在。
3. 即為有限，不是 ${\displaystyle \pm \infty }$ 
4. ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$  是不大於 a 的最大整數。
5. 數列${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$ 取mod 2π後在[0, 2π]中是稠密的，故得出結果。由等分佈定理可知這數列在區間中是等分佈的。
6. 下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想。然而這個下極限是否為有限，是數論中長久以來的未解問題。直到2013年，張益唐首次證明下極限的值有限，並且小於7千萬。^[1]截至2014年9月，下極限的值的上界已降至246。^[2]由整數數列的下極限性質可知，有無限多的正整數n，使得${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}}$ 不大於246。

引用

• Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536.  引文使用过时参数coauthors (帮助)

• González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154. 

1. Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2013-05-21 [2014-07-10]. （原始内容于2014-03-11） （英语）. 
2. Bounded gaps between primes. Polymath wiki. [2014-09-24]. （原始内容于2013-06-20）.