三角函數精確值

三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡，並以數學根式或分數表示

用根式或分數表達的精確三角函數有時很有用，主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡。

根据尼云定理，有理数度数的角的正弦值，其中的有理数仅有0，${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$，±1。

相同角度的轉換表

角度單位	值
轉	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
角度	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$
弧度	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
梯度	${\displaystyle 0^{g}}$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle 200^{g}}$	${\displaystyle 300^{g}}$	${\displaystyle 400^{g}}$

計算方式

基於常識

例如：0°、30°、45°

 

單位圓

經由半角公式的計算

參見：半角公式

例如：15°、22.5°

${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1+\cos x)}}}$ 

利用三倍角公式求${\displaystyle {\frac {1}{3}}\,}$ 角

參見：三倍角公式

例如：10°、20°、7°......等等，非三的倍數的角的精確值。

• ${\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}$ 

• ${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$ 

把它改為

• ${\displaystyle \sin \theta =3\sin {\frac {1}{3}}\theta -4\sin ^{3}{\frac {1}{3}}\theta \,}$ 
• ${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {1}{3}}\theta -3\cos {\frac {1}{3}}\theta \,}$ 

把${\displaystyle \cos {\frac {1}{3}}\theta \,}$ 當成未知數，${\displaystyle \cos \theta \,}$ 當成常數項 解一元三次方程式即可求出

例如：${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{9}}=\sin 20^{\circ }={\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}+{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}-{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}}$ 

同樣地，若角度代未知數，則會得到三分之一角公式。

经由欧拉公式的计算

更多信息：歐拉公式

• ${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{n}}=\Re \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$ 
• ${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{n}}=\Im \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$ 

例如：

${\displaystyle \sin {1^{\circ }}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos {3^{\circ }}+i\sin {3^{\circ }}}}-{\sqrt[{3}]{\cos {3^{\circ }}-i\sin {3^{\circ }}}}\right)}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{4{\sqrt[{3}]{2}}i}}{\Bigg \{}{\sqrt[{3}]{\left[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)\right]+i\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}}}$ 

${\displaystyle -{\sqrt[{3}]{\left[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)\right]-i\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}}{\Bigg \}}}$ ^[1]

經由和角公式的計算

例如：21° = 9° + 12°

${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,}$ 

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,}$ 

經由托勒密定理的計算

更多信息：托勒密定理和弦 (幾何)

 

Chord(36°) = a/b = 1/φ, 根据托勒密定理

例如：18°

根據托勒密定理，在圓內接四邊形ABCD中，

${\displaystyle a^{2}+ab=b^{2}}$ 

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}+{\frac {a}{b}}=1}$ 

${\displaystyle \mathrm {crd} \ {36^{\circ }}=\mathrm {crd} \left(\angle \mathrm {ADB} \right)={\frac {a}{b}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$ 

${\displaystyle \mathrm {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2}}\,}$ 

${\displaystyle \sin {18^{\circ }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$ 

三角函数精确值列表

由于三角函数的特性，大于45°角度的三角函数值，可以经由自0°～45°的角度的三角函数值的相关的计算取得。

0°：根本

${\displaystyle \sin 0=0\,}$ 

${\displaystyle \cos 0=1\,}$ 

${\displaystyle \tan 0=0\,}$ 

1°：2°的一半

${\displaystyle \sin {1^{\circ }}={\frac {1+{\sqrt {3}}i}{16}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {30}}-8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}-4{\sqrt {2}}+\left(4{\sqrt {30}}+8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}+4{\sqrt {2}}\right)i}}+}$ 

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {3}}i}{16}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {30}}-8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}-4{\sqrt {2}}-\left(4{\sqrt {30}}+8{\sqrt {15+3{\sqrt {5}}}}+8{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-4{\sqrt {10}}-4{\sqrt {6}}+4{\sqrt {2}}\right)i}}}$ ^[2]

1.5°：正一百二十边形

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{16}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}}$ 

1.875°：正九十六边形

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\tan \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {3}}+2}}+2}}+2}}}}{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {3}}+2}}+2}}+2}}+2}}}}$ 

2°：6°的三分之一

${\displaystyle \sin {2^{\circ }}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos {6^{\circ }}+i\sin {6^{\circ }}}}-{\sqrt[{3}]{\cos {6^{\circ }}-i\sin {6^{\circ }}}}\right)}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{4i}}{\Bigg \{}{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]+i\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]}}}$ 

${\displaystyle -{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]-i\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]}}{\Bigg \}}}$ 

${\displaystyle \cos {2^{\circ }}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos {6^{\circ }}+i\sin {6^{\circ }}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {6^{\circ }}-i\sin {6^{\circ }}}}\right)}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\Bigg \{}{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]+i\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]}}}$ 

${\displaystyle +{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]-i\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]}}{\Bigg \}}}$ 

2.25°：正八十边形

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {-2{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+8}}{4}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+8}}{4}}}$ 

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\tan \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {-{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+4}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+4}}}}$ 

${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cot \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+4}}{\sqrt {-{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+4}}}}$ 

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sec \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+4}}}}$ 

${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\csc \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {-{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}{\sqrt {{\sqrt {5}}+5}}+4}}+4}}+4}}}}$ 

2.8125°：正六十四边形

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}$ 

3°：正六十边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}$ 

3.75°：正四十八边形

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}$ 

4°：12°的三分之一

${\displaystyle \sin {4^{\circ }}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}+i\sin {12^{\circ }}}}-{\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}-i\sin {12^{\circ }}}}\right)}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{4i}}{\Bigg \{}{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]+i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}}$ 

${\displaystyle -{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]-i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}{\Bigg \}}}$ 

${\displaystyle \cos {4^{\circ }}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}+i\sin {12^{\circ }}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}-i\sin {12^{\circ }}}}\right)}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\Bigg \{}{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]+i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}}$ 

${\displaystyle +{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]-i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}{\Bigg \}}}$ 

4.5°：正四十边形

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}$ 

5°：15°的三分之一、正三十六边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{36}}=\sin 5^{\circ }={\frac {2-2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }{2{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}-2-{\sqrt {3}}}}-{\frac {(1+{\sqrt {3}}\mathrm {i} ){\sqrt[{3}]{2({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}-2-{\sqrt {3}}}{8}}\,}$ 

5.625°：正三十二边形

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}$ 

6°：正三十边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}\right)\,}$ 

${\displaystyle \sec {\frac {\pi }{30}}=\sec 6^{\circ }={\sqrt {3}}-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}$ 

${\displaystyle \csc {\frac {\pi }{30}}=\csc 6^{\circ }=2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\,}$ 

7.5°：正二十四边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{24}}=\sin 7.5^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{24}}=\cos 7.5^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{24}}=\tan 7.5^{\circ }={\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}-2-{\sqrt {3}}\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{24}}=\cot 7.5^{\circ }={\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}+2+{\sqrt {3}}\,}$ 

${\displaystyle \sec {\frac {\pi }{24}}=\sec 7.5^{\circ }={\sqrt {16-6{\sqrt {6}}-10{\sqrt {2}}+8{\sqrt {3}}}}\,}$ 

${\displaystyle \csc {\frac {\pi }{24}}=\csc 7.5^{\circ }={\sqrt {16+6{\sqrt {6}}+10{\sqrt {2}}+8{\sqrt {3}}}}\,}$ 

9°：正二十边形

更多信息：二十边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}$ 

10°：正十八边形

更多信息：十八边形

${\displaystyle {\tan 10^{\circ }=-{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\rm {i}}}{6}}{\sqrt[{3}]{-12{\sqrt {3}}+36{\rm {i}}}}-{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\rm {i}}}{6}}{\sqrt[{3}]{-12{\sqrt {3}}-36{\rm {i}}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}}\,}$ 

11.25°：正十六边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{16}}=\tan 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{16}}=\cot 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1}$ 

12°：正十五边形

更多信息：十五边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}\right]\,}$ 

15°：正十二边形

更多信息：十二边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}$ 

18°：正十边形

更多信息：十边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\tfrac {1}{2}}\varphi ^{-1}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}$ 

20°：正九边形、60°的三分之一

更多信息：九边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{9}}=\sin 20^{\circ }={\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}+{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}-{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}=}$ 

${\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}\left({\sqrt[{3}]{i-{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{i+{\sqrt {3}}}}\right)}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}=\cos 20^{\circ }=}$ 

${\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}\left({\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}}\right)}$ 

21°：9°与12°的和

${\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}$ 

360/17°，${\displaystyle \mathbf {\left(21{\frac {3}{17}}\right)^{\circ }} }$ ，${\displaystyle \mathbf {\left({\frac {360}{17}}\right)^{\circ }} }$ ：正十七边形

更多信息：十七边形

${\displaystyle \operatorname {cos} {2\pi \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$ 

22.5°：正八边形

更多信息：八边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}$ 

24°：12°的二倍

${\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\right]\,}$ 

180/7°，${\displaystyle \mathbf {\left(25{\frac {5}{7}}\right)^{\circ }} }$ ，${\displaystyle \mathbf {\left({\frac {180}{7}}\right)^{\circ }} }$ ：正七边形

更多信息：七边形

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}=\cos {\frac {180}{7}}^{\circ }=\cos 25{\frac {5}{7}}^{\circ }={\frac {1}{6}}+{\frac {1-{\sqrt {3}}i}{24}}{\sqrt[{3}]{28-84{\sqrt {3}}i}}+{\frac {1+{\sqrt {3}}i}{24}}{\sqrt[{3}]{28-84{\sqrt {3}}i}}}$ 

27°：12°与15°的和

${\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}$ 

30°：正六边形

更多信息：六边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,}$ 

33°：15°与18°的和

${\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}-1\right)\left(2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3+{\sqrt {5}}\right)\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+1\right)\left(2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-3-{\sqrt {5}}\right)\,}$ 

36°：正五边形

更多信息：五边形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}$ 

39°：18°与21°的和

${\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {8+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}$ 

42°：21°的2倍

${\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}{8}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {1}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}\right)\,}$ 

${\displaystyle \sec {\frac {7\pi }{30}}=\sec 42^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\,}$ 

${\displaystyle \sec {\frac {7\pi }{30}}=\sec 42^{\circ }={\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-2\,}$ 

45°：正方形

更多信息：正方形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1}$ 

54°：27°与27°的和

${\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{10}}=\tan 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{10}}=\cot 54^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}$ 

60°：等边三角形

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$ 

67.5°：7.5°与60°的和

${\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}=\tan 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{8}}=\cot 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}$ 

72°：36°的二倍

${\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{5}}=\tan 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{5}}=\cot 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}$ 

75°: 30°与45°的和

${\displaystyle \sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {5\pi }{12}}=\tan 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {5\pi }{12}}=\cot 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}$ 

90°：根本

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{2}}=\cot 90^{\circ }=0\,}$ 

列表

在下表中，${\displaystyle i}$ 為虛數單位，${\displaystyle \omega =\exp({\frac {\pi i}{3}})=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}i{\sqrt {3}}}$ 。

${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

十月 05, 2023 最新的文章 一月 01, 1970 酸菜 (中国) 一月 01, 1970 酸辣醬 一月 01, 1970 酸鹼電子理論 一月 01, 1970 酂阳街道 一月 01, 1970 酈瓊 一月 01, 1970 酉部 一月 01, 1970 酋長坦克 一月 01, 1970 酌中志 一月 01, 1970 配种 一月 01, 1970 配置文件 閱讀最多 一月 01, 1970 Rice University 一月 01, 1970 Richard Ashcroft 一月 01, 1970 Richard Attenborough 一月 01, 1970 Richard G. Hewlett 一月 01, 1970 Richard Rorty 三角函數精確值, 是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡, 並以數學根式或分數表示用根式或分數表達的精確三角函數有時很有用, 主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡, 根据尼云定理, 有理数度数的角的正弦值, 其中的有理数仅有0, displaystyle, frac, 相同角度的轉換表, 角度單位, 值轉, displaystyle, displaystyle, frac, displaystyle, frac, displaystyle, frac, displaystyle, frac, displ. 三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡 並以數學根式或分數表示用根式或分數表達的精確三角函數有時很有用 主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡 根据尼云定理 有理数度数的角的正弦值 其中的有理数仅有0 1 2 displaystyle pm frac 1 2 1 相同角度的轉換表 角度單位 值轉 0 displaystyle 0 1 12 displaystyle frac 1 12 1 8 displaystyle frac 1 8 1 6 displaystyle frac 1 6 1 4 displaystyle frac 1 4 1 2 displaystyle frac 1 2 3 4 displaystyle frac 3 4 1 displaystyle 1 角度 0 displaystyle 0 circ 30 displaystyle 30 circ 45 displaystyle 45 circ 60 displaystyle 60 circ 90 displaystyle 90 circ 180 displaystyle 180 circ 270 displaystyle 270 circ 360 displaystyle 360 circ 弧度 0 displaystyle 0 p 6 displaystyle frac pi 6 p 4 displaystyle frac pi 4 p 3 displaystyle frac pi 3 p 2 displaystyle frac pi 2 p displaystyle pi 3 p 2 displaystyle frac 3 pi 2 2 p displaystyle 2 pi 梯度 0 g displaystyle 0 g 33 1 3 g displaystyle 33 frac 1 3 g 50 g displaystyle 50 g 66 2 3 g displaystyle 66 frac 2 3 g 100 g displaystyle 100 g 200 g displaystyle 200 g 300 g displaystyle 300 g 400 g displaystyle 400 g 目录 1 計算方式 1 1 基於常識 1 2 經由半角公式的計算 1 3 利用三倍角公式求 UNIQ postMath 00000024 QINU 角 1 4 经由欧拉公式的计算 1 5 經由和角公式的計算 1 6 經由托勒密定理的計算 2 三角函数精确值列表 2 1 0 根本 2 2 1 2 的一半 2 3 1 5 正一百二十边形 2 4 1 875 正九十六边形 2 5 2 6 的三分之一 2 6 2 25 正八十边形 2 7 2 8125 正六十四边形 2 8 3 正六十边形 2 9 3 75 正四十八边形 2 10 4 12 的三分之一 2 11 4 5 正四十边形 2 12 5 15 的三分之一 正三十六边形 2 13 5 625 正三十二边形 2 14 6 正三十边形 2 15 7 5 正二十四边形 2 16 9 正二十边形 2 17 10 正十八边形 2 18 11 25 正十六边形 2 19 12 正十五边形 2 20 15 正十二边形 2 21 18 正十边形 2 22 20 正九边形 60 的三分之一 2 23 21 9 与12 的和 2 24 360 17 UNIQ postMath 00000086 QINU UNIQ postMath 00000087 QINU 正十七边形 2 25 22 5 正八边形 2 26 24 12 的二倍 2 27 180 7 UNIQ postMath 0000008F QINU UNIQ postMath 00000090 QINU 正七边形 2 28 27 12 与15 的和 2 29 30 正六边形 2 30 33 15 与18 的和 2 31 36 正五边形 2 32 39 18 与21 的和 2 33 42 21 的2倍 2 34 45 正方形 2 35 54 27 与27 的和 2 36 60 等边三角形 2 37 67 5 7 5 与60 的和 2 38 72 36 的二倍 2 39 75 30 与45 的和 2 40 90 根本 3 列表 4 相關 5 參見 6 參考文獻 7 注释計算方式 编辑基於常識 编辑 例如 0 30 45 nbsp 單位圓經由半角公式的計算 编辑 參見 半角公式 例如 15 22 5 sin x 2 1 2 1 cos x displaystyle sin left frac x 2 right pm sqrt tfrac 1 2 1 cos x nbsp cos x 2 1 2 1 cos x displaystyle cos left frac x 2 right pm sqrt tfrac 1 2 1 cos x nbsp 利用三倍角公式求1 3 displaystyle frac 1 3 nbsp 角 编辑 參見 三倍角公式 例如 10 20 7 等等 非三的倍數的角的精確值 sin 3 8 3 sin 8 4 sin 3 8 displaystyle sin 3 theta 3 sin theta 4 sin 3 theta nbsp cos 3 8 4 cos 3 8 3 cos 8 displaystyle cos 3 theta 4 cos 3 theta 3 cos theta nbsp 把它改為 sin 8 3 sin 1 3 8 4 sin 3 1 3 8 displaystyle sin theta 3 sin frac 1 3 theta 4 sin 3 frac 1 3 theta nbsp cos 8 4 cos 3 1 3 8 3 cos 1 3 8 displaystyle cos theta 4 cos 3 frac 1 3 theta 3 cos frac 1 3 theta nbsp 把cos 1 3 8 displaystyle cos frac 1 3 theta nbsp 當成未知數 cos 8 displaystyle cos theta nbsp 當成常數項 解一元三次方程式即可求出例如 sin p 9 sin 20 3 16 1 256 3 3 16 1 256 3 displaystyle sin frac pi 9 sin 20 circ sqrt 3 frac sqrt 3 16 sqrt frac 1 256 sqrt 3 frac sqrt 3 16 sqrt frac 1 256 nbsp 同樣地 若角度代未知數 則會得到三分之一角公式 经由欧拉公式的计算 编辑 更多信息 歐拉公式 cos 8 n ℜ cos 8 i sin 8 n 1 2 cos 8 i sin 8 n cos 8 i sin 8 n displaystyle cos frac theta n Re left sqrt n cos theta i sin theta right frac 1 2 left sqrt n cos theta i sin theta sqrt n cos theta i sin theta right nbsp sin 8 n ℑ cos 8 i sin 8 n 1 2 i cos 8 i sin 8 n cos 8 i sin 8 n displaystyle sin frac theta n Im left sqrt n cos theta i sin theta right frac 1 2i left sqrt n cos theta i sin theta sqrt n cos theta i sin theta right nbsp 例如 sin 1 1 2 i cos 3 i sin 3 3 cos 3 i sin 3 3 displaystyle sin 1 circ frac 1 2i left sqrt 3 cos 3 circ i sin 3 circ sqrt 3 cos 3 circ i sin 3 circ right nbsp 1 4 2 3 i 2 1 3 5 5 2 5 1 3 1 i 2 1 3 5 5 2 5 1 3 1 3 displaystyle frac 1 4 sqrt 3 2 i Bigg sqrt 3 left 2 1 sqrt 3 sqrt 5 sqrt 5 sqrt 2 sqrt 5 1 sqrt 3 1 right i left 2 1 sqrt 3 sqrt 5 sqrt 5 sqrt 2 sqrt 5 1 sqrt 3 1 right nbsp 2 1 3 5 5 2 5 1 3 1 i 2 1 3 5 5 2 5 1 3 1 3 displaystyle sqrt 3 left 2 1 sqrt 3 sqrt 5 sqrt 5 sqrt 2 sqrt 5 1 sqrt 3 1 right i left 2 1 sqrt 3 sqrt 5 sqrt 5 sqrt 2 sqrt 5 1 sqrt 3 1 right Bigg nbsp 1 dd dd 經由和角公式的計算 编辑 例如 21 9 12 sin x y sin x cos y cos x sin y displaystyle sin x pm y sin x cos y pm cos x sin y nbsp cos x y cos x cos y sin x sin y displaystyle cos x pm y cos x cos y mp sin x sin y nbsp 經由托勒密定理的計算 编辑 更多信息 托勒密定理和弦 幾何 nbsp Chord 36 a b 1 f 根据托勒密定理例如 18 根據托勒密定理 在圓內接四邊形ABCD中 a 2 a b b 2 displaystyle a 2 ab b 2 nbsp a b 2 a b 1 displaystyle left frac a b right 2 frac a b 1 nbsp c r d 36 c r d A D B a b 5 1 2 displaystyle mathrm crd 36 circ mathrm crd left angle mathrm ADB right frac a b frac sqrt 5 1 2 nbsp c r d 8 2 sin 8 2 displaystyle mathrm crd theta 2 sin frac theta 2 nbsp sin 18 5 1 4 displaystyle sin 18 circ frac sqrt 5 1 4 nbsp 三角函数精确值列表 编辑由于三角函数的特性 大于45 角度的三角函数值 可以经由自0 45 的角度的三角函数值的相关的计算取得 0 根本 编辑 sin 0 0 displaystyle sin 0 0 nbsp cos 0 1 displaystyle cos 0 1 nbsp tan 0 0 displaystyle tan 0 0 nbsp 1 2 的一半 编辑 sin 1 1 3 i 16 4 30 8 15 3 5 8 5 5 4 10 4 6 4 2 4 30 8 15 3 5 8 5 5 4 10 4 6 4 2 i 3 displaystyle sin 1 circ frac 1 sqrt 3 i 16 sqrt 3 4 sqrt 30 8 sqrt 15 3 sqrt 5 8 sqrt 5 sqrt 5 4 sqrt 10 4 sqrt 6 4 sqrt 2 left 4 sqrt 30 8 sqrt 15 3 sqrt 5 8 sqrt 5 sqrt 5 4 sqrt 10 4 sqrt 6 4 sqrt 2 right i nbsp 1 3 i 16 4 30 8 15 3 5 8 5 5 4 10 4 6 4 2 4 30 8 15 3 5 8 5 5 4 10 4 6 4 2 i 3 displaystyle frac 1 sqrt 3 i 16 sqrt 3 4 sqrt 30 8 sqrt 15 3 sqrt 5 8 sqrt 5 sqrt 5 4 sqrt 10 4 sqrt 6 4 sqrt 2 left 4 sqrt 30 8 sqrt 15 3 sqrt 5 8 sqrt 5 sqrt 5 4 sqrt 10 4 sqrt 6 4 sqrt 2 right i nbsp 2 dd dd dd 1 5 正一百二十边形 编辑 sin p 120 sin 1 5 2 2 15 3 10 2 5 2 2 30 6 5 5 1 16 displaystyle sin left frac pi 120 right sin left 1 5 circ right frac left sqrt 2 sqrt 2 right left sqrt 15 sqrt 3 sqrt 10 2 sqrt 5 right left sqrt 2 sqrt 2 right left sqrt 30 6 sqrt 5 sqrt 5 1 right 16 nbsp cos p 120 cos 1 5 2 2 30 6 5 5 1 2 2 15 3 10 2 5 16 displaystyle cos left frac pi 120 right cos left 1 5 circ right frac left sqrt 2 sqrt 2 right left sqrt 30 6 sqrt 5 sqrt 5 1 right left sqrt 2 sqrt 2 right left sqrt 15 sqrt 3 sqrt 10 2 sqrt 5 right 16 nbsp 1 875 正九十六边形 编辑 sin p 96 sin 1 875 1 2 2 2 2 2 3 displaystyle sin left frac pi 96 right sin left 1 875 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp cos p 96 cos 1 875 1 2 2 2 2 2 3 displaystyle cos left frac pi 96 right cos left 1 875 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp tan p 96 tan 1 875 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 displaystyle tan left frac pi 96 right tan left 1 875 circ right frac sqrt 2 sqrt sqrt sqrt sqrt 3 2 2 2 sqrt sqrt sqrt sqrt sqrt 3 2 2 2 2 nbsp 2 6 的三分之一 编辑 sin 2 1 2 i cos 6 i sin 6 3 cos 6 i sin 6 3 displaystyle sin 2 circ frac 1 2i left sqrt 3 cos 6 circ i sin 6 circ sqrt 3 cos 6 circ i sin 6 circ right nbsp 1 4 i 2 5 5 3 5 1 i 6 5 5 5 1 3 displaystyle frac 1 4i Bigg sqrt 3 left sqrt 2 5 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 1 right i left sqrt 6 5 sqrt 5 sqrt 5 1 right nbsp 2 5 5 3 5 1 i 6 5 5 5 1 3 displaystyle sqrt 3 left sqrt 2 5 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 1 right i left sqrt 6 5 sqrt 5 sqrt 5 1 right Bigg nbsp dd dd cos 2 1 2 cos 6 i sin 6 3 cos 6 i sin 6 3 displaystyle cos 2 circ frac 1 2 left sqrt 3 cos 6 circ i sin 6 circ sqrt 3 cos 6 circ i sin 6 circ right nbsp 1 4 2 5 5 3 5 1 i 6 5 5 5 1 3 displaystyle frac 1 4 Bigg sqrt 3 left sqrt 2 5 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 1 right i left sqrt 6 5 sqrt 5 sqrt 5 1 right nbsp 2 5 5 3 5 1 i 6 5 5 5 1 3 displaystyle sqrt 3 left sqrt 2 5 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 1 right i left sqrt 6 5 sqrt 5 sqrt 5 1 right Bigg nbsp dd dd 2 25 正八十边形 编辑 sin p 80 sin 2 25 2 2 2 2 5 5 4 4 8 4 displaystyle sin left frac pi 80 right sin left 2 25 circ right frac sqrt 2 sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 8 4 nbsp cos p 80 cos 2 25 2 2 2 2 5 5 4 4 8 4 displaystyle cos left frac pi 80 right cos left 2 25 circ right frac sqrt 2 sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 8 4 nbsp tan p 80 tan 2 25 2 2 2 5 5 4 4 4 2 2 2 5 5 4 4 4 displaystyle tan left frac pi 80 right tan left 2 25 circ right frac sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 4 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 4 nbsp cot p 80 cot 2 25 2 2 2 5 5 4 4 4 2 2 2 5 5 4 4 4 displaystyle cot left frac pi 80 right cot left 2 25 circ right frac sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 4 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 4 nbsp sec p 80 sec 2 25 2 2 2 2 2 5 5 4 4 4 displaystyle sec left frac pi 80 right sec left 2 25 circ right frac 2 sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 4 nbsp csc p 80 csc 2 25 2 2 2 2 2 5 5 4 4 4 displaystyle csc left frac pi 80 right csc left 2 25 circ right frac 2 sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 2 sqrt sqrt 5 5 4 4 4 nbsp 2 8125 正六十四边形 编辑 sin p 64 sin 2 8125 1 2 2 2 2 2 2 displaystyle sin left frac pi 64 right sin left 2 8125 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp cos p 64 cos 2 8125 1 2 2 2 2 2 2 displaystyle cos left frac pi 64 right cos left 2 8125 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp 3 正六十边形 编辑 sin p 60 sin 3 1 4 8 3 15 10 2 5 displaystyle sin frac pi 60 sin 3 circ tfrac 1 4 sqrt 8 sqrt 3 sqrt 15 sqrt 10 2 sqrt 5 nbsp cos p 60 cos 3 1 4 8 3 15 10 2 5 displaystyle cos frac pi 60 cos 3 circ tfrac 1 4 sqrt 8 sqrt 3 sqrt 15 sqrt 10 2 sqrt 5 nbsp tan p 60 tan 3 1 4 2 3 3 5 2 2 2 5 5 displaystyle tan frac pi 60 tan 3 circ tfrac 1 4 left 2 sqrt 3 3 sqrt 5 2 right left 2 sqrt 2 5 sqrt 5 right nbsp 3 75 正四十八边形 编辑 sin p 48 sin 3 75 1 2 2 2 2 3 displaystyle sin left frac pi 48 right sin left 3 75 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp cos p 48 cos 3 75 1 2 2 2 2 3 displaystyle cos left frac pi 48 right cos left 3 75 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp 4 12 的三分之一 编辑 sin 4 1 2 i cos 12 i sin 12 3 cos 12 i sin 12 3 displaystyle sin 4 circ frac 1 2i left sqrt 3 cos 12 circ i sin 12 circ sqrt 3 cos 12 circ i sin 12 circ right nbsp 1 4 i 6 5 5 5 1 i 2 5 5 3 5 1 3 displaystyle frac 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15 的三分之一 正三十六边形 编辑 sin p 36 sin 5 2 2 3 i 2 2 2 6 3 2 3 1 3 i 2 2 6 3 2 3 8 displaystyle sin frac pi 36 sin 5 circ frac 2 2 sqrt 3 mathrm i 2 sqrt 3 2 sqrt 2 sqrt 6 2 sqrt 3 frac 1 sqrt 3 mathrm i sqrt 3 2 sqrt 2 sqrt 6 2 sqrt 3 8 nbsp 5 625 正三十二边形 编辑 sin p 32 sin 5 625 1 2 2 2 2 2 displaystyle sin left frac pi 32 right sin left 5 625 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp cos p 32 cos 5 625 1 2 2 2 2 2 displaystyle cos left frac pi 32 right cos left 5 625 circ right frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp 6 正三十边形 编辑 sin p 30 sin 6 1 8 6 5 5 5 1 displaystyle sin frac pi 30 sin 6 circ tfrac 1 8 left sqrt 6 5 sqrt 5 sqrt 5 1 right nbsp cos p 30 cos 6 1 8 2 5 5 3 5 1 displaystyle cos frac pi 30 cos 6 circ tfrac 1 8 left sqrt 2 5 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 1 right nbsp tan p 30 tan 6 1 2 2 5 5 3 5 1 displaystyle tan frac pi 30 tan 6 circ tfrac 1 2 left sqrt 2 5 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 1 right nbsp cot p 30 cot 6 1 2 50 22 5 3 3 15 displaystyle cot frac pi 30 cot 6 circ tfrac 1 2 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，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。 © 版權所有 2021，保留所有權利  |   www.wiki2.zh-cn.nina.az Rss Feed SiteMap Ping DMCA 联系我们 主頁 關閉 稱呼: