σ-代数

在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（英語：σ-algebra）又叫 σ-域（英語：σ-field），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

动机

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给${\displaystyle X}$ 的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

定义

定義 — 
${\displaystyle X}$  為一集合，假設有子集族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ （ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$  代表 ${\displaystyle X}$  的冪集）滿足下列條件^[1][2]

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ 
2. ${\displaystyle (\forall F\in {\mathcal {F}})\left[(F\in {\mathcal {F}})\Rightarrow (X-F\in {\mathcal {F}})\right]}$ 
3. ${\displaystyle (\forall {\mathcal {A}})\left\{[({\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} )\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})]\Rightarrow \left(\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {F}}\right)\right\}}$ 

則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  是 ${\displaystyle X}$  的一個 σ-代數。

注意到定義第3條的${\displaystyle {\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} }$ ，意思是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  和自然数系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$  等势，直觀的意思就是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群 ${\displaystyle X}$  的子集合所組成的集合 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  ，为 ${\displaystyle X}$  上的一个 σ-代数意思是滿足：

• ${\displaystyle X}$  本身就是 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  的元素；
• 如果集合 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中，那么它的补集 ${\displaystyle X-A}$  也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中；
• 如果有可數个集合 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots }$  都在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中，那么它们的聯集也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中。

在測度論裡有序对 ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)}$  會被称为一个可测空间。而任何在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中的子集 ${\displaystyle A}$ ，則称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  被稱為事件族（family of events）， ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  中的子集 ${\displaystyle A}$  則称为事件。

例子

• ${\displaystyle X}$ 上最小的σ-代数是${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$ 。
• ${\displaystyle X}$ 上最大的σ-代数是${\displaystyle X}$ 的冪集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ （也就是所有 ${\displaystyle X}$  的子集合所組成的集合）

最小σ-代数

定理 — 
設 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  是 ${\displaystyle X}$  的一個子集族，則：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$ 

也是${\displaystyle X}$  的σ代数。

證明

根據 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$  的定義（嚴謹來說，依據分類公理所新增的公理），對所有集合 ${\displaystyle A}$  有： ${\displaystyle A\in \sigma ({\mathcal {F}})\Leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma )\,]\Rightarrow (A\in \Sigma )\right\}}$  (a) 以下將逐條檢驗σ代数的定義，來驗證 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$  的確是 ${\displaystyle X}$  的σ代数： (1) ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})}$  對所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$  來說，只要 ${\displaystyle \Sigma }$  是σ代数，按照定義理當有 ${\displaystyle X\in \Sigma }$  ，所以由式(a)的右方的確可以得出 ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})}$  。 (2)若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$  ，則 ${\displaystyle X-A}$  也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$  中 若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$  ，那根據式(a)，對所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$  來說，只要 ${\displaystyle \Sigma }$  是σ代数 且${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \Sigma }$ ，理當有 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，所以對所有 ${\displaystyle \Sigma }$  只要滿足這兩個條件，理當有 ${\displaystyle X-A\in \Sigma }$ ，所以由式(a)的右方的確有： ${\displaystyle (\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\}}$  (3)可數個并集也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$  中 若 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}})}$  ，由式(a)，只要 ${\displaystyle \Sigma }$  滿足(a)左方的兩個條件，就有 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$  ，所以： ${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$  所以再從(a)右方，就可以得到： ${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F}})}$  綜上所述， ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$  的確是 ${\displaystyle X}$  的σ代数。${\displaystyle \Box }$

根據以上的定理，可以做以下的定義：

定義 — 
${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  是 ${\displaystyle X}$  的一個子集族，則：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$ 

稱為包含 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  的最小σ-代数。

例子

• 设集合${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$ ，那么${\displaystyle \sigma (\{\{a\}\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}}$  是集合${\displaystyle X}$ 上含有 ${\displaystyle \{a\}}$  的σ-代数中最「小」的一个。

性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源

1. Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ，第28页
2. Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ，第45-46页