超積

數學上，超積（英語：ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵（英语：signature (logic)）。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。開斯勒（英语：H. Jerome Keisler）的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

定義

超積的一般定義中，先選定指標集${\displaystyle I}$ 、對應每個下標${\displaystyle i\in I}$ 的结构${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ （具相同的表徵（英语：Signature (logic)）），以及${\displaystyle I}$ 上的超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 。通常僅考慮${\displaystyle I}$ 為無窮集，且${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 不為主超濾子的情況，即${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的元素有齊${\displaystyle I}$ 的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡儿积

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}}$ 

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算${\displaystyle +}$ ，${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})_{i}=a_{i}+b_{i}}$ 。然後，在笛氏積上，定義等价关系${\displaystyle \sim }$ ，使${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}}$ 當且僅當

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}}$ 

（應當理解為「${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ 與${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$ 在大多數位置相等」）。

最後，所得的超積，是模${\displaystyle \sim }$ 的商集。所以，該超積有時記為

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.}$ 

另一種看法是，在指標集${\displaystyle I}$ 上，定義一個有限可加的测度${\displaystyle m}$ （弱於一般可數可加的條件），僅取${\displaystyle 0,1}$ 二值，若${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ 則稱${\displaystyle m(A)=1}$ ，否則稱${\displaystyle m(A)=0}$ 。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他關係（英语：relation (mathematics)）同理可作引申：

${\displaystyle R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},}$ 

其中${\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]}$ 表示${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ 模${\displaystyle \sim }$ 所屬的等價類。

特別地，若每個${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂超冪，意思是所有因子${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 皆相等的超積：

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,}$ 

也可以推廣到${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 不為超濾子，而僅為${\displaystyle I}$ 上普通一個滤子的情況。此時所得的模型${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$ 稱為約化積（英語：reduced product）。

例子

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，${\displaystyle \omega _{n}=n}$ 的序列${\displaystyle (\omega _{n})}$ 所在的等價類，記為超實數${\displaystyle \omega }$ ，比任意實數都要大，因為對於任意實數${\displaystyle r}$ ，${\displaystyle (\omega _{n})}$ 除有限項外皆比${\displaystyle r}$ 大。於是，${\displaystyle \omega }$ 可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義非標準整數系（英语：nonstandard integer）、非標準複數系（英语：nonstandard complex numbers）等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數${\displaystyle \psi }$ 為序列${\displaystyle \psi _{n}=2n}$ 所在的等價類。由於對每個${\displaystyle n}$ 都有${\displaystyle \psi _{n}>n=\omega _{n}}$ ，在超積中，有${\displaystyle \psi >\omega }$ ，所以${\displaystyle \psi }$ 是較原先構造出的${\displaystyle \omega }$ 更大的無窮大數。又考慮與${\displaystyle \omega _{n}=n}$ 類似的序列${\displaystyle (\chi _{n})}$ ，令${\displaystyle n\neq 7}$ 時，${\displaystyle \chi _{n}=n}$ ，但${\displaystyle \chi _{7}=8}$ 。則雖然兩個序列${\displaystyle (\chi _{n})\neq (\omega _{n})}$ ，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有${\displaystyle \omega =\chi }$ 。

大基数論中，有個標準構造是小心選取超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ，然後取整個集合論全類關於${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的超積。此時，${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數 § 定義有提及。

沃希定理

沃希定理（英語：Łoś's theorem），又稱超積基本定理（英语：fundamental theorem），由耶日·沃希（英语：Jerzy Łoś）所證（波蘭語發音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積${\displaystyle \prod {\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$ 中為真，當且僅當使該公式在${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 中成立的指標${\displaystyle i}$ 的集合，是${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

設有表徵${\displaystyle \sigma }$ ，指標集${\displaystyle I}$ ，其上的超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ，且對每個${\displaystyle i\in I}$ ，有${\displaystyle \sigma }$ 結構${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 。又設${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 為${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 關於${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 之超積，即${\displaystyle {\mathcal {M}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$ 。則對任意${\displaystyle n}$ 個多元組${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}_{i}}$ ，其中${\displaystyle a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}}$ ，以及對任意${\displaystyle \sigma }$ 公式${\displaystyle \varphi }$ ，

${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.}$ 

定理對公式${\displaystyle \varphi }$ 的複雜度歸納得證。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到选择公理。應用定理可得超實域的轉移原理（英语：transfer principle）。

實例

設${\displaystyle R}$ 為結構${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 上的一元關係，並構造${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 的超冪。則集合${\displaystyle S=\{x\in {\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\models Rx\}}$ 在超冪中有對應的子集${\displaystyle {}^{*}S}$ ，而在${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 中，對${\displaystyle S}$ 量化且為真的一階公式，將${\displaystyle S}$ 換成${\displaystyle {}^{*}S}$ 後，仍在超冪中成立。例如，設${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} }$ 為實數集。設${\displaystyle Rx}$ 表示「${\displaystyle x}$ 為有理數」。則在${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 中，對每對有理數${\displaystyle x<y}$ ，總有無理數${\displaystyle z}$ 介於兩者之間。即：

${\displaystyle {\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).}$ 

既然有理數集${\displaystyle S}$ 此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集${\displaystyle {}^{*}S}$ 仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數${\displaystyle x}$ 同時滿足${\displaystyle x>1,\ x>1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots }$ 此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數${\displaystyle \omega }$ ，就比${\displaystyle 1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots }$ 都要大。

超冪的正極限（超極限）

 关于一列度量空間的超積，请见「超極限」。

模型論和集合論中，常考慮一列超冪的正極限（英语：direct limit）（範疇論的餘極限）。模型论中，此構造稱為超極限（英語：ultralimit）或極限超冪（英語：limiting ultrapower）。

從某結構${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}}$ 和超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}}$ 開始，構造出超冪${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ，並重複，得到${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ 等。對每個${\displaystyle n}$ ，有典範對角嵌入${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}_{n+1}}$ 。在極限階段，如${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\omega }}$ ，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

參見

• 紧致性定理——若可滿足一族一階句子的任意有限條，則可全部滿足
• 勒文海姆–斯科伦定理——一階理論無法控制無窮模型的大小
• 轉移原理（英语：Transfer principle）

參考資料

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction [模型與超積：導論] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英语）. 
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra [泛代數教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始内容于2005-01-23） （英语）.