全序关系

全序关系，也称为线性顺序（英語：Total order, linear order）即集合${\displaystyle X}$上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为${\displaystyle \leq }$）。

若${\displaystyle X}$满足全序关系，则下列陈述对于${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle a,b}$和${\displaystyle c}$成立：

• 反对称性：若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle b\leq a}$则${\displaystyle a=b}$
• 传递性：若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle b\leq c}$则${\displaystyle a\leq c}$
• 完全性：${\displaystyle a\leq b}$或${\displaystyle b\leq a}$

满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。 链还常用来描述偏序集合的全序子集。

全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性：${\displaystyle a\leq a}$，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。

严格全序

对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<，它可以用以下两种等价的方式定义：

• ${\displaystyle a<b}$ 当且仅当${\displaystyle a\leq b}$ 且${\displaystyle a\neq b}$ 
• ${\displaystyle a<b}$ 当且仅当${\displaystyle \neg (b\leq a)}$ （即${\displaystyle >}$ 为${\displaystyle \leq }$ 的逆补关系）

性质：

• 传递性：${\displaystyle a<b}$ 且${\displaystyle b<c}$ 蕴涵${\displaystyle a<c}$ 。
• 三分性：${\displaystyle a<b}$ , ${\displaystyle b<a}$ 和${\displaystyle a=b}$ 中有且仅有一个成立。
• 弱序性：其中关联的等价是相等的。

我们可以通过指定${\displaystyle <}$ 为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序${\displaystyle \leq }$ ：

• ${\displaystyle a\leq b}$ 当且仅当${\displaystyle a<b}$ 或${\displaystyle a=b}$ 
• ${\displaystyle a\leq b}$ 当且仅当${\displaystyle \neg (b<a)}$ 

另两个关联的关系是补关系${\displaystyle \geq }$ 和${\displaystyle >}$ ，它们构成了四元组${\displaystyle \{<,>,\leq ,\geq \}}$ 。

我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。

例子

• 字典序的字母表，比如${\displaystyle A<B<C}$ 等等。
• 全序集的任何保持原次序不变的子集。
• 满足完全性的偏序集。
• 基数或序数集（严格地说，它们都是良序集）。
• 若${\displaystyle X}$ 为任何集合，${\displaystyle f}$ 为${\displaystyle X}$ 到一全序集的单射，则${\displaystyle f}$ 诱导${\displaystyle X}$ 为${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ 当且仅当${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$ 的全序集。
• 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为${\displaystyle n}$ 的单词可视为字母表集合的直积自乘${\displaystyle n}$ 次所得结果集合中的元素。
• 拥有小于（${\displaystyle <}$ ）和大于关系（${\displaystyle >}$ ）的实数集是全序的，因此其子集（自然数集、整数集、有理数集等）均为全序集。
  • 自然数集是最小的无上界全序集。
  • 整数集是最小的无界全序集。
  • 有理数集是最小的无界稠密全序集。
  • 实数集是最小的无界连通全序集。

参见

• 二元关系
• 偏序关系

引用

• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4