超極限, 數學上, 是幾何的構造法, 對一個度量空間序列xn指定一個度量空間為其極限, 推廣了度量空間的格羅莫夫, 豪斯多夫收斂, 目录, 超濾子, 點序列關於一個超濾子的極限, 有基點度量空間的, 備註超濾子, 编辑在自然數集n, displaystyle, mathbb, nbsp, 上的超濾子ω, 是一個有限可加的集合函數, 可視為有限可加測度, displaystyle, omega, mathbb, nbsp, 從自然數集的冪集2, displaystyle, mathbb, nbsp, 映射到集合, 使. 數學上 超極限是幾何的構造法 對一個度量空間序列Xn指定一個度量空間為其極限 超極限推廣了度量空間的格羅莫夫 豪斯多夫收斂 目录 1 超濾子 2 點序列關於一個超濾子的極限 3 有基點度量空間的超極限 4 備註超濾子 编辑在自然數集N displaystyle mathbb N nbsp 上的超濾子w 是一個有限可加的集合函數 可視為有限可加測度 w 2 N 0 1 displaystyle omega 2 mathbb N to 0 1 nbsp 從自然數集的冪集2 N displaystyle 2 mathbb N nbsp 映射到集合 0 1 上 使得w N 1 displaystyle omega mathbb N 1 nbsp 一個在N displaystyle mathbb N nbsp 上的超濾子w 稱為非主要的 若對所有有限子集F N displaystyle F subseteq mathbb N nbsp 都有w F 0 點序列關於一個超濾子的極限 编辑設w是N displaystyle mathbb N nbsp 上的非主要超濾子 若 x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp 是度量空間 X d 上的點序列 x X 稱x是xn的w 極限 記為x lim w x n displaystyle x lim omega x n nbsp 若對所有ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 都有 w n d x n x ϵ 1 displaystyle omega n d x n x leq epsilon 1 nbsp 不難看出 若一個點序列的w 極限存在 則是唯一的 若在標準意義下x lim n x n displaystyle x lim n to infty x n nbsp 則x lim w x n displaystyle x lim omega x n nbsp 這性質成立 關鍵在超濾子是非主要的 若 X d 緊緻 則每個點序列都存在w 極限 故此 實數的有界序列都存在w 極限 有基點度量空間的超極限 编辑設w是在N displaystyle mathbb N nbsp 上的非主要超濾子 設 Xn dn 是度量空間 有基點pn Xn 考慮序列 x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp 其中xn Xn 這個序列稱為容許的 若實數序列 dn xn pn n有界 也就是存在正實數C 使得d n x n p n C displaystyle d n x n p n leq C nbsp 記容許序列的集合為A displaystyle mathcal A nbsp 由三角不等式可知對兩個容許序列x x n n N displaystyle mathbf x x n n in mathbb N nbsp 及y y n n N displaystyle mathbf y y n n in mathbb N nbsp 序列 dn xn yn n有界 因此存在w 極限d x y lim w d n x n y n displaystyle hat d infty mathbf x mathbf y lim omega d n x n y n nbsp 在A displaystyle mathcal A nbsp 中定義關係 displaystyle sim nbsp 如下 對x y A displaystyle mathbf x mathbf y in mathcal A nbsp 每當d x y 0 displaystyle hat d infty mathbf x mathbf y 0 nbsp 時便有 x y displaystyle mathbf x sim mathbf y nbsp 易知 displaystyle sim nbsp 是等價關係 序列 Xn dn pn 關於w的超極限是一個度量空間 X d displaystyle X infty d infty nbsp 定義如下 1 作為集合 有X A displaystyle X infty mathcal A sim nbsp 對兩個容許序列x x n n N displaystyle mathbf x x n n in mathbb N nbsp 及y y n n N displaystyle mathbf y y n n in mathbb N nbsp 的 displaystyle sim nbsp 等價類 x y displaystyle mathbf x mathbf y nbsp 定義d x y d x y lim w d n x n y n displaystyle d infty mathbf x mathbf y hat d infty mathbf x mathbf y lim omega d n x n y n nbsp 不難看到d displaystyle d infty nbsp 有良好定義 且為 X displaystyle X infty nbsp 上的度量 記 X d lim w X n d n p n displaystyle X infty d infty lim omega X n d n p n nbsp 備註 编辑 John Roe Lectures on Coarse Geometry American Mathematical Society 2003 ISBN 978 0 8218 3332 2 Definition 7 19 p 107 取自 https zh wikipedia org w index php title 超極限 amp oldid 29945869, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,