雙心多邊形

在幾何學中，雙心多邊形是指同時存在内切圆和外接圓的多邊形，換句話說即存在一個圓，能使該多邊形的每條邊與之相切；也存在另一個圓，能使該多邊形的頂點皆落在該圓上。

一個雙心五邊形，同時也屬於圓內接五邊形和圓外切五邊形

雙心多邊形是一個自身對偶多邊形，即其對偶多邊形為自己本身，且同時屬於圓內接多邊形和圓外切多邊形。所有三角形和任意邊數的正多邊形都是雙心多邊形。另一方面，具有邊長不相等的矩形不是雙心多邊形，因為沒有圓可以與所有四個邊相切。

雙心三角形

所有三角形都同時擁有内切圆和外切圓，因此所有三角形皆為雙心多邊形^[1]。在任意三角形中，皆可以找到內切圆半徑r和外切圓半徑R，且它們存在下列等式：

{\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}

其中，x表示內切圆圓心和外切圓圓心的距離，即內心和外心的距離^[2]。這個等式可以視為歐拉三角形公式的其中一個版本。

在所有四邊形中，並非所有四邊形都可以同時擁有内切圆和外接圓，換句話說並非所有四邊形都是雙心多邊形，而同時擁有内切圆與外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。

給定2個圓，其中一個圓位於另一個圓內時，假設大圓半徑為R、小圓半徑為r，若當中存在一個凸四邊形，滿足每條邊與小圓相切、且頂點皆位於大圓上時，則其滿足下列式子，反之亦然。^[3]^[4]^[5]

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

其中，x為兩圓心之距離^[2]^[6]。則這個四邊形為雙心四邊形。這種性質稱為Fuss定理^[7]。

令外接圓圓心為R、內切圓圓心為r、內心與外心距離為x、n為多邊形的邊數，更複雜的雙心多邊形通式為^[8]：

n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},

n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},

n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},

其中 $p={\tfrac {R+x}{r}}$ 、 $q={\tfrac {R-x}{r}}$ 。

^ Gorini, Catherine A., The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing: 17, 2009 [2018-12-22], ISBN 9780816073894, （原始内容于2016-12-23） .
^ ^2.0 ^2.1 Reiman, István, International Mathematical Olympiad: 1976-1990, Anthem Press: 170–171, 2005, ISBN 9781843312000 .
^ Dörrie, Heinrich. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover. 1965: 188–193. ISBN 978-0-486-61348-2.
^ Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1]^{[永久失效連結]}, 1998, pp. 158-164.
^ Salazar, Juan Carlos, Fuss's Theorem, Mathematical Gazette, 2006,, 90 (July): 306–307 .
^ Davison, Charles, Subjects for mathematical essays, Macmillan and co., limited: 98, 1915 [2018-12-28], （原始内容于2016-12-23） .
^ Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier Dover Publications: 192, 1965 [2018-12-28], ISBN 9780486613482, （原始内容于2014-06-17） .
^ Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）