Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
十二月 02, 2023
長度, 模論, 在數學中, displaystyle, 為環, 一個, displaystyle, 之長度是一個整數, 包括無窮大, 它推廣了向量空間的維度, 有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性, 目录, 動機, 定義, 例子, 性質, 文獻動機, 编辑單模是除了零和本身外沒有子模的模, 這種模有時也稱為不可約模, 例如不可約的向量空間, 視為域或除環上的模, 是一條直線, 對於單模, 我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈, displaystyle, subsetneq, nbsp, 單模是容易處理的對象, . 在數學中 設 A displaystyle A 為環 一個 A displaystyle A 模 之長度是一個整數 包括無窮大 它推廣了向量空間的維度 有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性 目录 1 動機 2 定義 3 例子 4 性質 5 文獻動機 编辑單模是除了零和本身外沒有子模的模 這種模有時也稱為不可約模 例如不可約的向量空間 視為域或除環上的模 是一條直線 對於單模 我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈 0 M displaystyle 0 subsetneq M nbsp 單模是容易處理的對象 對於一個環 A displaystyle A nbsp 上的 A displaystyle A nbsp 模 M displaystyle M nbsp 如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈 M 0 0 M 1 M n 1 M n M displaystyle M 0 0 subsetneq M 1 subsetneq cdots subsetneq M n 1 subsetneq M n M nbsp 使得每個子商 M k M k 1 displaystyle M k M k 1 nbsp 都是單模 那麼此鏈將是極大的 我們無法插入新的子模 根據以下將闡述的定義 這時 M displaystyle M nbsp 將是有限長度的模 其長度 ℓ R M displaystyle ell R M nbsp 恰為 n displaystyle n nbsp 因此單模正好是長度為一的模 另一個例子 設 E displaystyle E nbsp 是域 k displaystyle k nbsp 上的有限維向量空間 那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 E k 0 k displaystyle E k 0 leq k nbsp 使得維度在每一步都加一 E 0 0 E 1 E n 1 E n E displaystyle E 0 0 subsetneq E 1 subsetneq cdots subsetneq E n 1 subsetneq E n E nbsp 而此時 dim k E ℓ k E displaystyle dim k E ell k E nbsp 這種資料稱作旗 定義 编辑設 A displaystyle A nbsp 為一個環 可能非交換 一個 A displaystyle A nbsp 模 M displaystyle M nbsp 的長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界 此即最大可能的整數 n displaystyle n nbsp 可能是無窮大 使得 M displaystyle M nbsp 中存在嚴格遞增的子模鏈 M 0 M 1 M n displaystyle M 0 subsetneq M 1 subsetneq cdots subsetneq M n nbsp 模 M displaystyle M nbsp 的長度記為 ℓ A M displaystyle ell A M nbsp 不致混淆時也逕寫作 ℓ M displaystyle ell M nbsp 例子 编辑模 M displaystyle M nbsp 是單模的充要條件是長度為一 對於向量空間 長度等於維度 整數環 Z displaystyle mathbb Z nbsp 視為 Z displaystyle mathbb Z nbsp 模 則其長度為無窮大 因為存在任意長的子模鏈 2 n Z 2 n 1 Z 2 Z Z displaystyle 2 n mathbb Z subsetneq 2 n 1 mathbb Z subsetneq cdots subsetneq 2 mathbb Z subsetneq mathbb Z nbsp 設正整數 n displaystyle n nbsp 的素因數分解為 n p p n p displaystyle n prod p p n p nbsp 則有ℓ Z Z n Z p n p displaystyle ell mathbb Z mathbb Z n mathbb Z sum p n p nbsp 性質 编辑有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質 例如 若 M displaystyle M nbsp 為有限長模 則其子模皆有限長 設 N P displaystyle N P nbsp 為兩個子模 ℓ N ℓ P displaystyle ell N ell P nbsp 且 N P displaystyle N subseteq P nbsp 則 N P displaystyle N P nbsp 我們有 Grassman 公式 ℓ N P ℓ N P ℓ N ℓ P displaystyle ell N P ell N cap P ell N ell P nbsp 對於有限長模 M displaystyle M nbsp 一個極大的子模鏈 0 M 0 M n M displaystyle 0 M 0 subsetneq cdots subsetneq M n M nbsp 稱為一個合成列 其長度 n displaystyle n nbsp 是固定的 且合成因子 M i M i 1 displaystyle M i M i 1 nbsp 在至多差一個置換與同構的意義下唯一 此外 一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模與諾特模 文獻 编辑Serge Lang Algebra 2002 Graduate Texts in Mathematics 211 Springer ISBN 0 387 95385 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 長度 模論 amp oldid 68297254, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,