Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
一月 14, 2024
長度, 模論, 在數學中, displaystyle, 為環, 一個, displaystyle, 之長度是一個整數, 包括無窮大, 它推廣了向量空間的維度, 有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性, 目录, 動機, 定義, 例子, 性質, 文獻動機, 编辑單模是除了零和本身外沒有子模的模, 這種模有時也稱為不可約模, 例如不可約的向量空間, 視為域或除環上的模, 是一條直線, 對於單模, 我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈, displaystyle, subsetneq, nbsp, 單模是容易處理的對象, . 在數學中 設 A displaystyle A 為環 一個 A displaystyle A 模 之長度是一個整數 包括無窮大 它推廣了向量空間的維度 有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性 目录 1 動機 2 定義 3 例子 4 性質 5 文獻動機 编辑單模是除了零和本身外沒有子模的模 這種模有時也稱為不可約模 例如不可約的向量空間 視為域或除環上的模 是一條直線 對於單模 我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈 0 M displaystyle 0 subsetneq M nbsp 單模是容易處理的對象 對於一個環 A displaystyle A nbsp 上的 A displaystyle A nbsp 模 M displaystyle M nbsp 如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈 M 0 0 M 1 M n 1 M n M displaystyle M 0 0 subsetneq M 1 subsetneq cdots subsetneq M n 1 subsetneq M n M nbsp 使得每個子商 M k M k 1 displaystyle M k M k 1 nbsp 都是單模 那麼此鏈將是極大的 我們無法插入新的子模 根據以下將闡述的定義 這時 M displaystyle M nbsp 將是有限長度的模 其長度 ℓ R M displaystyle ell R M nbsp 恰為 n displaystyle n nbsp 因此單模正好是長度為一的模 另一個例子 設 E displaystyle E nbsp 是域 k displaystyle k nbsp 上的有限維向量空間 那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 E k 0 k displaystyle E k 0 leq k nbsp 使得維度在每一步都加一 E 0 0 E 1 E n 1 E n E displaystyle E 0 0 subsetneq E 1 subsetneq cdots subsetneq E n 1 subsetneq E n E nbsp 而此時 dim k E ℓ k E displaystyle dim k E ell k E nbsp 這種資料稱作旗 定義 编辑設 A displaystyle A nbsp 為一個環 可能非交換 一個 A displaystyle A nbsp 模 M displaystyle M nbsp 的長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界 此即最大可能的整數 n displaystyle n nbsp 可能是無窮大 使得 M displaystyle M nbsp 中存在嚴格遞增的子模鏈 M 0 M 1 M n displaystyle M 0 subsetneq M 1 subsetneq cdots subsetneq M n nbsp 模 M displaystyle M nbsp 的長度記為 ℓ A M displaystyle ell A M nbsp 不致混淆時也逕寫作 ℓ M displaystyle ell M nbsp 例子 编辑模 M displaystyle M nbsp 是單模的充要條件是長度為一 對於向量空間 長度等於維度 整數環 Z displaystyle mathbb Z nbsp 視為 Z displaystyle mathbb Z nbsp 模 則其長度為無窮大 因為存在任意長的子模鏈 2 n Z 2 n 1 Z 2 Z Z displaystyle 2 n mathbb Z subsetneq 2 n 1 mathbb Z subsetneq cdots subsetneq 2 mathbb Z subsetneq mathbb Z nbsp 設正整數 n displaystyle n nbsp 的素因數分解為 n p p n p displaystyle n prod p p n p nbsp 則有ℓ Z Z n Z p n p displaystyle ell mathbb Z mathbb Z n mathbb Z sum p n p nbsp 性質 编辑有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質 例如 若 M displaystyle M nbsp 為有限長模 則其子模皆有限長 設 N P displaystyle N P nbsp 為兩個子模 ℓ N ℓ P displaystyle ell N ell P nbsp 且 N P displaystyle N subseteq P nbsp 則 N P displaystyle N P nbsp 我們有 Grassman 公式 ℓ N P ℓ N P ℓ N ℓ P displaystyle ell N P ell N cap P ell N ell P nbsp 對於有限長模 M displaystyle M nbsp 一個極大的子模鏈 0 M 0 M n M displaystyle 0 M 0 subsetneq cdots subsetneq M n M nbsp 稱為一個合成列 其長度 n displaystyle n nbsp 是固定的 且合成因子 M i M i 1 displaystyle M i M i 1 nbsp 在至多差一個置換與同構的意義下唯一 此外 一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模與諾特模 文獻 编辑Serge Lang Algebra 2002 Graduate Texts in Mathematics 211 Springer ISBN 0 387 95385 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 長度 模論 amp oldid 68297254, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,