达布定理

此条目的主題是数学分析中的达布定理。关于微分几何中的达布定理，請見「达布定理 (微分几何)」。

在实分析中，达布定理（英語：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数（是某个实值函数的导数的函数）都具有介值性质：任一个区间关于实导函数的值域仍是区间。即是说，若 f 为可导函数，则对任意区间I，f′(I) 仍为区间。

当函数 f 是一阶连续可导函数（C¹）时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f′ 不连续时，达布定理说明 f′ 仍具有介值性质。

历史

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻畫出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数：

${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$  当${\displaystyle x\neq 0}$ 

${\displaystyle h(0)=0}$  当${\displaystyle x=0}$ 

其导数在0处并不连续。

定理叙述

达布定理等价于：设 f : [a,b] → R 为一个 [a,b] 上的实值可导函数，并在[a,b] 上可导，那么 ${\displaystyle f\,'}$  满足：对任意介于${\displaystyle f\,'(a)}$  和 ${\displaystyle f\,'(b)}$ 之间的 t ，存在 x 属于 (a,b) 使得 ${\displaystyle f\,'(x)=t}$ 。

证明

不失一般性，我们可假设${\displaystyle f\,'_{+}(a)>t>f\,'_{-}(b)}$ 。又设g(x) := f(x) - tx，则 ${\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}$ 。只需找到 ${\displaystyle g'}$ 在 [a,b] 上的一个零点即可。

由于 g 是[a,b] 上的连续函数，由極值定理， g 在[a,b] 上达到极大值。由于${\displaystyle g'_{+}(a)>0}$ ，极大值不在 a 处取到。同理，由于${\displaystyle g'_{-}(b)<0}$ ，极大值也不在 b 处取到。设 x 为取到极大值的点，这时，${\displaystyle g\,'(x)=0}$ 。于是定理得证。

参见

• 让·加斯东·达布
• 介值定理

参考资料

• 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
• 潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

外部链接

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