蚌线

提示：此条目的主题不是合蚌线。

在平面几何中，蚌线是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 ${\displaystyle O}$ 的动直线与给定曲线 ${\displaystyle c}$ 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 ${\displaystyle k}$ ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 ${\displaystyle c}$ 关于极点 ${\displaystyle O}$ 和迹距 ${\displaystyle k}$ 的蚌线。^[1][2][3]

绿色为直线，黑色为直线外一点，所有红色线段和蓝色线段的长度均相等。紫色和橙色曲线是绿色直线关于黑色点的蚌线，紫色为内支，橙色为外支

极点和原直线不变、迹距不同的一系列蚌线

用解析几何的方式来表述：平面曲线 ${\displaystyle c}$ 的极坐标方程为 ${\displaystyle \rho =f(\theta )}$ ，则以 ${\displaystyle \rho =f(\theta )\pm k}$ 为方程的曲线是 ${\displaystyle c}$ 关于原点的蚌线。^[4]

“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线。^[5]尼科美迪斯（英语：Nicomedes (mathematician)）是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。^[6]

尼科美迪斯蚌线

 

灰色为直线，黑色为蚌线的极点

  迹距小于极点与直线的距离，极点与内支分离

  迹距等于极点与直线的距离，极点是内支的尖点

  迹距大于极点与直线的距离，极点是内支的结点

性质

有定直线 ${\displaystyle l}$  和直线外一固定点 ${\displaystyle O}$ ，过点 ${\displaystyle O}$  的动直线与 ${\displaystyle l}$  相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 ${\displaystyle l}$  关于极点 ${\displaystyle O}$  的蚌线 ${\displaystyle c}$  ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 ${\displaystyle l}$  。^[4][5]

通常记 ${\displaystyle l}$  与点 ${\displaystyle O}$  的距离为 ${\displaystyle a}$  ，迹距为 ${\displaystyle b}$ 。根据 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$  的关系，内支有三种不同形态：^[4]

• 当 ${\displaystyle b<a}$  时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
• 当 ${\displaystyle a=b}$  时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
• 当 ${\displaystyle b>a}$  时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 ${\displaystyle l}$  垂直并通过极点 ${\displaystyle O}$ 。^[3]

历史和应用

 

尼科米迪斯发明的工具，用来绘制直线蚌线的外支

古希腊数学家尼科美迪斯（英语：Nicomedes (mathematician)）是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。^[7][6]

帕普斯将该曲线称为“螺线”（κοχλοειδὴς γραμμή），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（κογχοειδὴς γραμμή）。^[7]

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。^[8][9]

倍立方体

 

借助蚌线作出长度为${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ 的线段

作线段 ${\displaystyle AB=1}$  。以点 ${\displaystyle A}$  为圆心、${\displaystyle AB}$  为半径作圆，以点 ${\displaystyle B}$  为圆心、${\displaystyle AB}$  为半径作圆，交于点 ${\displaystyle C}$  。

过点 ${\displaystyle A}$  作线段 ${\displaystyle AC}$  的垂线 ${\displaystyle l}$ 。以点 ${\displaystyle C}$  为极点、${\displaystyle AB}$  为迹距作直线 ${\displaystyle l}$  的蚌线外支。

延长 ${\displaystyle BA}$  交蚌线于点 ${\displaystyle D}$  。延长 ${\displaystyle AB}$  交圆 ${\displaystyle B}$  于点 ${\displaystyle E}$  。连接 ${\displaystyle CD}$  交 ${\displaystyle l}$  于点 ${\displaystyle F}$  。线段 ${\displaystyle CF}$  的长度即为 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  。^[7]

代数证明

设 ${\displaystyle CF=x}$  。显然 ${\displaystyle x}$  是正实数。 因为 ${\displaystyle \triangle AFC}$  为直角三角形，所以 ${\displaystyle AF={\sqrt {CF^{2}-CA^{2}}}={\sqrt {x^{2}-1}}}$  。 又因为 ${\displaystyle \triangle ADF\sim \triangle EDC}$  ，所以 ${\displaystyle AF={EC \over CD}\cdot FD={{\sqrt {3}} \over x+1}}$  。 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}={{\sqrt {3}} \over x+1}}$  ${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)^{2}=3}$  ${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-2x-4=0}$  ${\displaystyle (x+2)(x^{3}-2)=0}$  ${\displaystyle x^{3}-2=0}$  ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}}$

尼科美迪斯的几何证明
作长方形 ${\displaystyle ABGH}$  ，${\displaystyle AH=BG=2AB=2GH}$  。 延长 ${\displaystyle DH}$  ，延长 ${\displaystyle BG}$  ，交于点 ${\displaystyle K}$  。 连接 ${\displaystyle EH}$  ，交 ${\displaystyle BG}$  于点 ${\displaystyle L}$  ，点 ${\displaystyle L}$  是 ${\displaystyle BG}$  中点。 取 ${\displaystyle AB}$  中点 ${\displaystyle M}$ ，连接 ${\displaystyle MC}$  。
${\displaystyle AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD+MB)}$  ${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}=MD^{2}}$  ${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}+MC^{2}=MD^{2}+MC^{2}}$  ${\displaystyle AD\cdot BD+AC^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle \triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD}$  ${\displaystyle KG:GH=HA:AD}$  ${\displaystyle \because GH=GL,\ AH=2AB=AE}$  ${\displaystyle \therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD}$  ${\displaystyle \because FD=AB=GL}$  ${\displaystyle \therefore KG=FC}$  ${\displaystyle KL=KG+GL=FC+FD=CD}$  ${\displaystyle KL^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle KL^{2}=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^{2}}$  ${\displaystyle KL^{2}=KB\cdot KG+GL^{2}}$  ${\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$  ${\displaystyle \therefore KB\cdot KG+GL^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$  ${\displaystyle KB\cdot KG=AD\cdot BD}$  ${\displaystyle AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD}$
${\displaystyle HA:AD=AD:KG=KG:GH}$  ${\displaystyle HA=2GH}$  ${\displaystyle \therefore KG={\sqrt[{3}]{2}}GH}$  ^[7]

三等分角

 

借助蚌线三等分任意锐角

作任意直角三角形 ${\displaystyle \triangle OAB}$  ，点 ${\displaystyle A}$  为垂足。以点 ${\displaystyle O}$  为极点、${\displaystyle 2\ OB}$  为迹距作直线 ${\displaystyle AB}$  的蚌线外支。

过点 ${\displaystyle B}$  作直线 ${\displaystyle AB}$  的垂线，交蚌线于点 ${\displaystyle C}$ 。 ${\displaystyle OC}$  就是 ${\displaystyle \angle AOB}$  的三等分线。^[7]

证明
作 ${\displaystyle OC}$  与 ${\displaystyle AB}$  的交点 ${\displaystyle D}$  。取 ${\displaystyle CD}$  的中点 ${\displaystyle E}$  ，连接 ${\displaystyle BE}$  。 根据蚌线和直角三角形的性质，可知 ${\displaystyle OB=CE=DE=BE}$  。 易证得 ${\displaystyle \angle BOD=\angle BED=\angle EBC+\angle C=2\angle C=2\angle AOD}$  。 故 ${\displaystyle \angle AOD={1 \over 3}\angle AOB}$  。^[7]

解析几何

在极坐标系中，设点 ${\displaystyle O}$  为坐标原点，则直线 ${\displaystyle l}$  和蚌线 ${\displaystyle c}$  的方程可以表示为：^[4]

${\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}$ 

${\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}$ 

${\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$ 

在直角坐标系中，设点 ${\displaystyle O}$  为坐标原点，则直线 ${\displaystyle l}$  和蚌线 ${\displaystyle c}$  的方程可以表示为：^[4]

${\displaystyle l:\ x=a}$ 

${\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}}$ 

${\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$ 

或用参数方程表示为：^[4]

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}$ 

（上下正负号同号，${\displaystyle -{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$ ）

尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。^[4]

帕斯卡蜗线

主条目：帕斯卡蜗线

帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。^[1][2]

作圆 ${\displaystyle O}$  关于圆上一个定点 ${\displaystyle A}$  、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 ${\displaystyle B}$ ，延长 ${\displaystyle BO}$  至圆外，与所作蚌线交于点 ${\displaystyle C}$ 。根据蚌线的性质，易知 ${\displaystyle \angle ACB={1 \over 3}\angle AOB}$  。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线（英语：Limaçon_trisectrix）。^[2]

•  

  圆关于圆上一点、迹距小于圆径的蚌线

•  

  圆关于圆上一点、迹距等于圆径的蚌线，即心脏线

•  

  三等分角蜗线

其他蚌线

•  

  圆对圆外一点的蚌线，迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离

•  

  圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点

•  

  圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最大距离，大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点

•  

  圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点

•  

  圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离

•  

  圆对圆内一点的一条蚌线

•  

  抛物线对线外一点的一条蚌线

•  

  正弦曲线对线外一点的一条蚌线

•  

  立方曲线对线外一点的一条蚌线

•  

  双曲线一支对线上一点的蚌线

•  

  椭圆对于中心、迹距等于半短轴的蚌线，内支有两个重合的尖点

参考来源

1. 别尔曼（俄语：Берман,_Георгий_Николаевич）. 摆线. 越民义 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2019: 53-60. ISBN 978-7-5603-5834-5. 
2. 霍华德·伊夫斯（英语：Howard Eves）. 数学史概论. 第6版. 欧阳峰 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2009: 126. 
3. 姜康甫; 吉星. 几何画的原理和作法. 上海: 上海科学技术出版社. 1964: 289-293. 
4. 布隆什坦（俄语：Бронштейн, Илья Николаевич）; 谢缅佳也夫（俄语：Семендяев,_Константин_Адольфович）. 数学手册. 罗零, 石峥嵘 (译). 北京: 高等教育出版社. 1965: 90-91. 
5. 高希尧. 数学术语详解词典. 西安: 陕西科学技术出版社. 1991: 20-21. ISBN 7-5369-0738-9. 
6. 莫里斯·克莱因. 古今数学思想 第1册. 张理京, 张锦炎, 江泽涵 (译). 上海: 上海科学技术出版社. 2014: 95-96. ISBN 978-7-5478-1717-9. 
7. Thomas Heath（英语：Thomas_Heath_(classicist)）. A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: 238-240, 260-262 （英语）. 
8.   Chisholm, Hugh (编). Conchoid. Encyclopædia Britannica 6 (第11版). London: Cambridge University Press: 826–827. 1911 （英语）. 
9. 大卫·S.里奇森（英语：David Richeson）. 不可能的几何挑战 数学求索两千年. 姜喆 (译). 北京: 人民邮电出版社. 2022: 176-179. ISBN 978-7-115-57370-4.