Dunster, T. M., Legendre and Related Functions, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
一月 13, 2023
伴随勒让德多项式, associated, legendre, polynomials, 又译缔合勒让德多项式, 连带勒让德多项式, 关联勒让德多项式, 是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼, displaystyle, frac, frac, left, frac, right, 该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的, 在数学和理论物理学中有重要的意义, 5时连带勒让德多项式的图像, 因上述方程仅当, displaystyle, displaystyle, 均为整数且满足, displaystyl. 伴随勒让德多项式 Associated Legendre polynomials 又译缔合勒让德多项式 连带勒让德多项式 关联勒让德多项式 1 是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼 1 x 2 d 2 y d x 2 2 x d y d x ℓ ℓ 1 m 2 1 x 2 y 0 displaystyle 1 x 2 frac d 2 y dx 2 2x frac dy dx left ell ell 1 frac m 2 1 x 2 right y 0 该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的 在数学和理论物理学中有重要的意义 l 5时连带勒让德多项式的图像 因上述方程仅当 ℓ displaystyle ell 和 m displaystyle m 均为整数且满足 0 m ℓ displaystyle 0 leq m leq ell 时 才在区间 1 1 上有非奇异解 所以通常把 ℓ displaystyle ell 和 m displaystyle m 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式 把 ℓ displaystyle ell 和 或 m displaystyle m 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数 generalized Legendre functions 当 m 0 displaystyle m 0 ℓ displaystyle ell 为整数时 方程的解即为一般的勒让德多项式 注意当 m 为奇数时 连带勒让德多项式并不是多项式 目录 1 正交性 2 与勒让德多项式的关系 3 与超几何函数的关系 4 负数阶连带勒让德多项式 5 与球谐函数的关系 6 参考文献正交性 编辑与勒让德多项式一样 连带勒让德多项式在区间 1 1 上也满足正交性 1 1 P l m x P k m x d x l m l m 2 2 l 1 d k l displaystyle int 1 1 P l m x P k m x mathrm d x frac l m l m frac 2 2l 1 delta kl 这是因为 与勒让德方程一样 连带勒让德方程也是施图姆 刘维尔型的 m 2 1 x 2 d d x 1 x 2 d d x P l m x l P l m x l l l 1 l Z 0 displaystyle left frac m 2 1 x 2 frac mathrm d mathrm d x left 1 x 2 frac mathrm d mathrm d x right right P l m x lambda P l m x quad lambda l l 1 l in mathbb Z 0 正交性的另一种表述如下 它与下面提到的球谐函数有关 0 p P l m cos 8 P k m cos 8 sin 8 d 8 l m l m 2 2 l 1 d k l displaystyle int 0 pi P l m cos theta P k m cos theta sin theta mathrm d theta frac l m l m frac 2 2l 1 delta kl 与勒让德多项式的关系 编辑连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到 P l m x 1 x 2 m 2 P l m x displaystyle P l m x 1 x 2 m 2 P l m x 等号右边的上标 m 表示求 m 次导 与超几何函数的关系 编辑连带勒让德函数 即 l m 不一定要是整数 可以用高斯超几何函数表达为 P n m z 1 G 1 m z 1 z 1 m 2 2 F 1 n n 1 1 m 1 z 2 displaystyle P nu mu z frac 1 Gamma 1 mu left frac z 1 z 1 right mu 2 2 F 1 nu nu 1 1 mu frac 1 z 2 注意 m 为正整数 m 时 1 m 是伽玛函数的奇点 此时等号右边的式子应该理解为当 m 趋于 m 时的极限 负数阶连带勒让德多项式 编辑显然连带勒让德方程在变换 m m 下保持不变 传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为 P l m x 1 m l m l m P l m x m 1 l l Z displaystyle P l m x 1 m frac l m l m P l m x quad m 1 ldots l l in mathbb Z 容易验证 这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况 注意在个别文献 如上面的图 以及球谐函数一文 中会直接取 P l m x P l m x displaystyle P l m x P l m x 本文不采用这种定义 与球谐函数的关系 编辑主条目 球谐函数 球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解 构成一组完备的基组 有着重要的意义 采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式 球谐函数可以表达为 Y l m 8 ϕ l m l m 2 l 1 4 p P l m cos 8 e i m ϕ displaystyle Y l m theta phi sqrt frac l m l m frac 2l 1 4 pi P l m cos theta e im phi 由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系 Y l m 8 ϕ Y k n 8 ϕ d W d k l d m n displaystyle int Y l m theta phi Y k n theta phi mathrm d Omega delta kl delta mn 式中 dW 是立体角元 参考文献 编辑 吴崇试 16 数学物理方法 第二版 北京大学出版社 2003 ISBN 9787301068199 Dunster T M Legendre and Related Functions Olver Frank W J Lozier Daniel M Boisvert Ronald F Clark Charles W 编 NIST Handbook of Mathematical Functions Cambridge University Press 2010 ISBN 978 0521192255 MR2723248 取自 https zh wikipedia org w index php title 伴随勒让德多项式 amp oldid 67860884, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,