超几何函数

此条目的主題是高斯超几何函数 ₂F₁。关于超几何函数 _pF_q，請見「广义超几何函数」。

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点（英语：Regular singular point）的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数

当${\displaystyle c}$ 不是非正整数时，对于|z| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}}$ 

其中 ${\displaystyle \ x^{(n)}}$  是遞進階乘，定义为:

${\displaystyle q^{(n)}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if }}n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&{\mbox{if }}n>0\end{array}}\right.}$ 

当a或b是0或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为

${\displaystyle {\begin{aligned}&_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (b-a)\Gamma (c)(-z)^{-a}}{\Gamma (b)\Gamma (c-a)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(a-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(a-b+1)_{k}}}+{\frac {\Gamma (a-b)\Gamma (c)(-z)^{-b}}{\Gamma (a)\Gamma (c-b)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(b)_{k}(b-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(-a+b+1)_{k}}}/;\\&|z|\geq 1\wedge a-b\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}}$ 

特殊情形

很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

${\displaystyle \ln(1+z)=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)}$ .

${\displaystyle (1-z)^{-a}=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)}$ 

${\displaystyle \arcsin z=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right)}$ 

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$ 

因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$ 

很多多项式，例如贾可比多项式 P(α,β)
n及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$  其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式。

椭圆模函数（英语：Elliptic modular function）有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若

${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z)}{{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z)}}}$ 

则

${\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$ 

是τ的椭圆模函数.

不完整的beta函数 B_x(p,q) 表示成

${\displaystyle B_{x}(p,q)={\frac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}$ 

完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$ 

${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$ 

超几何方程

超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)

${\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+c-1\right)w,\quad w(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$ .

展开后，得

${\displaystyle z(1-z){\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-abw=0.}$ 

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解

超几何方程的指标方程（英语：Frobenius method）为

${\displaystyle \rho (\rho -1)+c\rho =0}$ 

它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。

当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$ 

当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 

${\displaystyle \,z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ 

正则奇点 1 附近的解

只需作代换 t=1-z，方程变为：

${\displaystyle t(1-t){\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+\left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right]{\frac {dw}{dt}}-abw=0.}$ 

当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){\text{ and }}(1-z)^{c-a-b}\,_{2}F_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)}$ 

正则奇点 ∞ 附近的解

当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right){\text{ and }}z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$ 

李代数参数与连接关系

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数^[1]会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$ 

${\displaystyle \alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a}$ 

${\displaystyle a={\frac {1+\alpha +\beta -\mu }{2}},b={\frac {1+\alpha +\beta +\mu }{2}},c=1+\alpha }$ 

参数 α,β,γ 称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

${\displaystyle {\text{At }}0:F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)}$ 

${\displaystyle {\text{At }}1:F_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z){\text{ and }}(1-z)^{-\beta }F_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)}$ 

${\displaystyle {\text{At }}\infty :(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta +\mu }{2}}F_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1}){\text{ and }}(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta -\mu }{2}}F_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})}$ 

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：

${\displaystyle G(m;n,p)={\frac {\pi }{\sin m\pi \Gamma (n)\Gamma (p)}}=G(m;p,n)}$ 

${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1+\alpha )}}F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)}$ 

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

${\displaystyle \mathbf {F} _{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,b)z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta }\mathbf {F} _{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z);\end{array}}}$ 

${\displaystyle (-z)^{-a}\mathbf {F} _{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf {F} _{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})&=&G(-\alpha ;1-a,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta ))\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z).\end{array}}}$ 

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示

${\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a){}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-z)|<\pi }$ 

式中的 Β 是beta函数。

证明

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设

${\displaystyle p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);}$ 

则

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\partial w}{\partial z}}-abw\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\=&b{\frac {\partial }{\partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}}}$ 

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C ₂F₁(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。

对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。

变换公式

分式线性变换

Pfaff 变换

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$ 

由 a,b 的对称性自然有：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$ 

证明

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

${\displaystyle u={\tfrac {z}{z-1}}=1+{\tfrac {1}{z-1}}}$ 

则

${\displaystyle z={\tfrac {u}{u-1}},\quad (1-z)^{a}=(1-u)^{-a},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}=-(1-u)^{2},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-(1-u)^{3}}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-b}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-b}w]-ab(1-z)^{-b}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+b(c-a)\right\}w\\=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+2u{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+b(c-a)\right\}w\\=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-b(c-a)\right\}w\end{array}}}$ 

取

${\displaystyle w={}_{2}F_{1}(c-a,b;c;u)}$ 

由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z)^-bw(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}})\\&=&(1-z)^{-b}\left(1-{\frac {z}{z-1}}\right)^{a-c}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;{\frac {\frac {z}{z-1}}{{\frac {z}{z-1}}-1}}\right)\\&=&(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi \end{array}}}$ 

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（F_α,β,μ 恒等于 F_α,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,\mu ,\beta }\equiv F_{\alpha ,\mu ,-\beta }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,-\beta ,\mu }}$ 

二次变换

下面是一个二次变换的例子：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}\,_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4z-4}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$ 

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

证明

仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]-ab(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z[{\tfrac {b}{2}}({\tfrac {b}{2}}+1)+b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{\tfrac {b}{2}}+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\\end{array}}}$ 

令

${\displaystyle c=2a,\quad u={\tfrac {z^{2}}{4z-4}}={\tfrac {1}{4}}(z+1-{\tfrac {1}{1-z}})}$ 

则

${\displaystyle 1-u={\tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}={\tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-{\tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\=&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&{\tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}-{\tfrac {z}{2(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&-z\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[a+{\tfrac {1}{2}}-(a+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})\right\}\end{array}}}$ 

取

${\displaystyle w=\,{}_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};u)}$ 

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

其它例子

运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=f(z)F_{\alpha ',\beta ',\mu '}(g(z)),\quad P(z)}$ 

其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

李代数参数（左）	李代数参数（右）	${\displaystyle f(z)}$	${\displaystyle g(z)}$	${\displaystyle P(z)}$
${\displaystyle \alpha ,\mu ,\mu }$	${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{2}},\mu ,{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1-{\tfrac {1}{2}}z)^{-b}}$	${\displaystyle \left({\tfrac {z}{2-z}}\right)^{2}}$	${\displaystyle |\arg(1-z)|<\pi }$
${\displaystyle \mu ,\beta ,\mu }$	${\displaystyle \mu ,{\tfrac {\beta }{2}},{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1+z)^{-b}}$	${\displaystyle {\tfrac {4z}{(1+z)^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
${\displaystyle \alpha ,\alpha ,\mu }$	${\displaystyle \alpha ,{\tfrac {\mu }{2}},{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1-2z)^{-b}}$	${\displaystyle {\tfrac {4z(z-1)}{(1-2z)^{2}}}}$	${\displaystyle \Re z<{\tfrac {1}{2}}}$

另外还有：

${\displaystyle {\tfrac {2\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {a+b+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {a+1}{2}})\Gamma ({\tfrac {b+1}{2}})}}F_{-{\tfrac {1}{2}},\beta ,{\tfrac {\mu }{2}}}(z)=F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)+F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right),\quad |\arg z|<\pi ,|\arg(1-z)|<\pi }$ 

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换

若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)。

特殊值

z=0

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;0)=1}$ 

z=1

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\tfrac {\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\mathrm {B} (a,c-a)}}={\tfrac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)}$ 

这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

z=-1

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$ 

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

z=1/2

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$ 

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$ 

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

参考文献

• Hazewinkel, Michiel (编), Hypergeometric function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions （页面存档备份，存于互联网档案馆） (University of Oxford, MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, (freely downloadable)
• 埃里克·韦斯坦因. Hypergeometric Function. MathWorld. 
• Olde Daalhuis, A. B., Hypergeometric Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
• Goursat, Édouard. . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1881, 10: 3–142 [2008-10-16]. （原始内容存档于2021-03-08） （法语）. 

1. Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113  .