Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113.
行進 29, 2023
广义超几何函数, generalized, hypergeometric, function, 有时也称超几何函数, 是一个用幂级数定义的函数, 其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出, 下文中用, 超几何函数, 一词代指, 而用, 高斯超几何函数, 一词代指, 时的, 目录, 定义与记号, 敛散性, 积分表达式, 超几何函数的性质, 特殊值, 欧拉积分变换, 导函数, 特例, 多重对数函数, 参考定义与记号, 编辑超几何函数是用幂级数定义的, displaystyle, beta, beta, frac, b. 广义超几何函数 generalized hypergeometric function 有时也称超几何函数 是一个用幂级数定义的函数 其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出 下文中用 超几何函数 一词代指广义超几何函数 而用 高斯超几何函数 一词代指 p 2 q 1 时的广义超几何函数 目录 1 定义与记号 2 敛散性 3 积分表达式 4 超几何函数的性质 4 1 特殊值 4 2 欧拉积分变换 4 3 导函数 5 特例 5 1 0F 0 5 2 1F 0 5 3 0F 1 5 4 1F 1 和 2F 0 5 5 2F 1 5 6 多重对数函数 6 参考定义与记号 编辑超几何函数是用幂级数定义的 b 0 b 1 z 1 b 2 z 2 2 n 0 b n z n n displaystyle beta 0 beta 1 frac z 1 beta 2 frac z 2 2 dots sum n geqslant 0 beta n frac z n n 其中相邻两项的系数之比 b n 1 b n 是关于 n 的有理函数 分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积 一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1 并取 b 0 1 于是 b n 1 b n A n B n i 1 p a i n i 1 q b i n n 0 displaystyle frac beta n 1 beta n frac A n B n frac prod i 1 p a i n prod i 1 q b i n quad forall n geqslant 0 于是用阶乘幂可以将 b n 表示为 b n i 1 p a i n i 1 q b i n displaystyle beta n frac prod i 1 p a i n prod i 1 q b i n 一般用下面的记号来表示超几何函数 p F q a 1 a 2 a 3 a p b 1 b 2 b 3 b q z p F q a 1 a 2 a 3 a p b 1 b 2 b 3 b q z n 0 i 1 p a i n i 1 q b i n z n n displaystyle p F q a 1 a 2 a 3 ldots a p b 1 b 2 b 3 ldots b q z p F q left begin matrix a 1 amp a 2 amp a 3 amp ldots amp a p b 1 amp b 2 amp b 3 amp ldots amp b q end matrix z right sum n 0 infty frac prod i 1 p a i n prod i 1 q b i n frac z n n 当 a i 都不是非正整数 即负整数和 0 时 要求所有的 b i 都不是非正整数 当有至少一个 a i 是非正整数 且其中最大 绝对值最小 者为 k 时 超几何函数将截断为 k 次多项式 这时允许 b i 中存在非正整数 但要求这些非正整数都小于 k 这都是为了保证在所有的 b n中 分母不为零 敛散性 编辑下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径 当超几何函数截断为多项式时 显然收敛半径是无穷大 除去这种特殊情况之外 用比值审敛法可知 当 p lt q 1 时 收敛半径为无穷大 当 p q 1 时 收敛半径为 1 剩下的情况收敛半径为 0 这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数 而函数本身则采用其它方式定义 如积分表达式 当级数的收敛半径为 1 时 级数在单位圆外不收敛 但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值 另外 此时在单位圆上的敛散性较为复杂 不能使用比值审敛法 必须使用高斯审敛法来判断 结果如下 令 g q k 1 q b k k 1 p a k r ℜ g q displaystyle gamma q sum k 1 q b k sum k 1 p a k quad r Re gamma q 则 当 r gt 0 时 级数在单位圆上绝对收敛 当 0 r gt 1 时 级数在单位圆上除 z 1 外收敛 但不绝对收敛 当 1 r 时 级数在单位圆上发散 积分表达式 编辑复平面上的路径积分可以用来定义所有 a k 都不是非正整数时的广义超几何函数 包括上面说到的 p q 1 的情形 下面只介绍 p 1 gt q 且级数不截断为多项式的情形 其它情形下 上面的幂级数定义已经是良好的定义 而下面的积分不收敛 这时超几何函数可以定义为 k 1 p G a k k 1 q G b k p F q a 1 a 2 a 3 a p b 1 b 2 b 3 b q z 1 2 p i i i k 1 p G a k s k 1 q G b k s G s z s d s displaystyle left prod k 1 p Gamma a k right left prod k 1 q Gamma b k right p F q left begin matrix a 1 amp a 2 amp a 3 amp ldots amp a p b 1 amp b 2 amp b 3 amp ldots amp b q end matrix z right frac 1 2 pi i int i infty i infty left prod k 1 p Gamma a k s right left prod k 1 q Gamma b k s right Gamma s z s mathrm d s 当 p q 且级数不截断为多项式时 超几何函数既可以用上面的积分来定义 也可以用超几何级数定义 可以证明 两种定义是等价的 且定义出来的超几何函数都是整函数 当 p q 1 且级数不截断为多项式时 超几何函数既可以用上面的积分来定义 也可以用超几何级数定义 但级数定义只在 z lt 1 时有效 在这个区域内 两种定义是等价的 上式提供了级数定义的一个解析延拓 当 p gt q 1 且级数不截断为多项式时 超几何函数只能通过积分表达式定义 对应的超几何级数只在 z 0 处收敛 其它情况均发散 它是积分定义的超几何函数在 z 0 处的渐近级数 即 p F q a 1 a 2 a 3 a p b 1 b 2 b 3 b q z n 0 i 1 p a i n i 1 q b i n z n n p gt q 1 z 0 arg z lt p 1 q p 2 displaystyle p F q left begin matrix a 1 amp a 2 amp a 3 amp ldots amp a p b 1 amp b 2 amp b 3 amp ldots amp b q end matrix z right approx sum n 0 infty frac prod i 1 p a i n prod i 1 q b i n frac z n n quad p gt q 1 z rightarrow 0 arg z lt p 1 q frac pi 2 超几何函数的性质 编辑特殊值 编辑 p F q a 1 a p b 1 b q 0 1 displaystyle p F q left begin array c a 1 ldots a p b 1 dots b q end array 0 right 1 欧拉积分变换 编辑 p 1 F q 1 a 1 a p c b 1 b q d z G d G c G d c 0 1 t c 1 1 t d c 1 p F q a 1 a p b 1 b q t z d t displaystyle p 1 F q 1 left begin array c a 1 ldots a p c b 1 ldots b q d end array z right frac Gamma d Gamma c Gamma d c int 0 1 t c 1 1 t d c 1 p F q left begin array c a 1 ldots a p b 1 ldots b q end array tz right dt 导函数 编辑 z d d z a j p F q a 1 a j a p b 1 b q z a j p F q a 1 a j 1 a p b 1 b q z z d d z b k 1 p F q a 1 a p b 1 b k b q z b k 1 p F q a 1 a p b 1 b k 1 b q z d d z p F q a 1 a p b 1 b q z i 1 p a i j 1 q b j p F q a 1 1 a p 1 b 1 1 b q 1 z displaystyle begin aligned left z frac rm d rm d z a j right p F q left begin array c a 1 dots a j dots a p b 1 dots b q end array z right amp a j p F q left begin array c a 1 dots a j 1 dots a p b 1 dots b q end array z right left z frac rm d rm d z b k 1 right p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b k dots b q end array z right amp b k 1 p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b k 1 dots b q end array z right frac rm d rm d z p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b q end array z right amp frac prod i 1 p a i prod j 1 q b j p F q left begin array c a 1 1 dots a p 1 b 1 1 dots b q 1 end array z right end aligned 由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程 z n 1 p z d d z a n w z d d z n 1 q z d d z b n 1 w w z p F q a 1 a p b 1 b q z displaystyle z prod n 1 p left z frac rm d rm d z a n right w z frac rm d rm d z prod n 1 q left z frac rm d rm d z b n 1 right w quad w z p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b q end array z right 特例 编辑0F 0 编辑 就是指数函数 0 F 0 z e z displaystyle 0 F 0 z e z 1F 0 编辑 1 F 0 a z 1 z a displaystyle 1 F 0 a z 1 z a 0F 1 编辑 称为合流超几何极限函数 confluent hypergeometric limit functions 与贝塞尔函数有密切关联 J a x x 2 a G a 1 0 F 1 a 1 1 4 x 2 displaystyle J alpha x frac tfrac x 2 alpha Gamma alpha 1 cdot 0 F 1 left alpha 1 tfrac 1 4 x 2 right 1F 1 和 2F 0 编辑 主条目 合流超几何函数 1F 1 就是 第一类 合流超几何函数 也称 Kummer 函数 1 F 1 a b z M a b z displaystyle 1 F 1 a b z M a b z 另一方面 2F 0 此函数的级数表达式不收敛 因此必须通过积分表达式定义 与第二类合流超几何函数 又称Tricomi 函数 有如下关系 U a b z z a 2 F 0 a a b 1 z 1 displaystyle U a b z z a cdot 2 F 0 a a b 1 z 1 事实上 它们都可以表示为高斯超几何函数的极限 1 F 1 a c z lim b 2 F 1 a b c z b displaystyle 1 F 1 a c z lim b rightarrow infty 2 F 1 a b c z b 2 F 0 a b z lim c 2 F 1 a b c c z displaystyle 2 F 0 a b z lim c rightarrow infty 2 F 1 a b c cz 类似地 pF q 都可以表示成 p 1F q 或 pF q 1 的极限 不完全伽玛函数与这两个函数有关联 g a z z a a M a a 1 z a Z 0 displaystyle gamma a z frac z a a M a a 1 z quad a notin mathbb Z 0 G a z e z U 1 a 1 a z displaystyle Gamma a z e z U 1 a 1 a z 2F 1 编辑 主条目 超几何函数 就是高斯超几何函数 一般又简称超几何函数 多重对数函数 编辑 主条目 多重对数函数 当 s 为非负整数时 多重对数函数 Lis 可以用超几何函数表示 L i s z z s 1 F s 1 1 2 2 z displaystyle mathrm Li s z z cdot s 1 F s left begin array c 1 ldots 1 2 dots 2 end array z right 参考 编辑Askey R A Daalhuis Adri B Olde Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G Function Olver Frank W J Lozier Daniel M Boisvert Ronald F Clark Charles W 编 NIST Handbook of Mathematical Functions Cambridge University Press 2010 ISBN 978 0521192255 MR2723248 Derezinski Jan Hypergeometric type functions and their symmetries arXiv 1305 3113 取自 https zh wikipedia org w index php title 广义超几何函数 amp oldid 74056346, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,