施图姆, 刘维尔理论, 此條目没有列出任何参考或来源, 2013年2月5日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, templ. 此條目没有列出任何参考或来源 2013年2月5日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 在数学及其应用中 以雅克 夏尔 弗朗索瓦 施图姆 1803 1855 和约瑟夫 刘维尔 1809 1882 的名字命名的施图姆 刘维尔方程是指二阶线性实微分方程 d d x p x d y d x q x y l w x y displaystyle frac d dx left p x frac dy dx right q x y lambda w x y 1 其中给定系数函数p x q x 和w x 均为已知函数 和y 是以x 为自由变量的未知的待求解函数 称为解 l displaystyle lambda 是一个未定常数 w x 又记为r x 称为 权 weight 函数或 密度 density 函数 所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式 在一个正则的施图姆 刘维尔 S L 本征值问题中 在有界闭区间 a b 上 三个系数函数p x w x q x displaystyle p x w x q x 应满足以下性质 p x gt 0 w x gt 0 displaystyle p x gt 0 w x gt 0 p x p x w x q x displaystyle p x p x w x q x 均连续 y x displaystyle y x 满足边界条件 a 1 y a a 2 y a 0 displaystyle alpha 1 y a alpha 2 y a 0 及 b 1 y b b 2 y b 0 displaystyle beta 1 y b beta 2 y b 0 a 1 2 a 2 2 gt 0 b 1 2 b 2 2 gt 0 displaystyle alpha 1 2 alpha 2 2 gt 0 beta 1 2 beta 2 2 gt 0 只有一些恰当的l displaystyle lambda 能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解 非零解 这些l displaystyle lambda 称为方程的特徵值 对应的非平凡解称为特徵函数 而特徵函数的集合则称为特徵函数族 施 刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中 引入埃尔米特算子 形成了施图姆 刘维尔理论 这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性 以及特徵函数族的正交完备性 这个理论在应用数学中十分重要 尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候 施图姆 刘维尔理论提出 施图姆 刘维尔特徵值问题 存在无限多个实数特徵值 而且可以排序为 l 1 lt l 2 lt l 3 lt lt l n lt lim n l n displaystyle lambda 1 lt lambda 2 lt lambda 3 lt cdots lt lambda n lt cdots lim n rightarrow infty lambda n infty 对于每一个特徵值l n displaystyle lambda n 都有唯一的 已被归一化的 特徵函数y n x displaystyle y n x 且y n x displaystyle y n x 在开区间 a b 上有且仅有n 1个零点 其中y n x displaystyle y n x 称为满足上述施图姆 刘维尔特徵值问题的第n个基本解 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间L 2 a b w x d x displaystyle L 2 a b w x mathrm d x 上有正交性和完备性 形成一组正交基 a b y n x y m x w x d x d m n displaystyle int a b y n x y m x w x mathrm d x delta mn 其中d m n displaystyle delta mn 是克罗内克函数 目录 1 一些函数的施图姆 刘维尔形式 1 1 贝塞尔方程 1 2 勒让德方程 1 3 使用积分因子的例子 1 4 一般形式二阶常微分方程的积分因子 2 参阅 3 参考文献一些函数的施图姆 刘维尔形式 编辑只要乘以一个恰当的积分因子 所有二阶常微分方程都可以写成施图姆 刘维尔形式 贝塞尔方程 编辑 x 2 y x y x 2 n 2 y 0 displaystyle x 2 y xy x 2 nu 2 y 0 等价于 x y x n 2 x y 0 displaystyle xy x nu 2 x y 0 勒让德方程 编辑 1 x 2 y 2 x y n n 1 y 0 displaystyle 1 x 2 y 2xy nu nu 1 y 0 注意到 D 1 x2 2x 因此等价于 1 x 2 y n n 1 y 0 displaystyle 1 x 2 y nu nu 1 y 0 使用积分因子的例子 编辑 x 3 y x y 2 y 0 displaystyle x 3 y xy 2y 0 两边同时除以x3 y x x 3 y 2 x 3 y 0 displaystyle y x over x 3 y 2 over x 3 y 0 再乘以积分因子 m x e x x 3 d x e 1 x 2 d x e 1 x displaystyle mu x e int x x 3 mathrm d x e int 1 x 2 mathrm d x e 1 x 得到 e 1 x y e 1 x x 2 y 2 e 1 x x 3 y 0 displaystyle e 1 x y e 1 x over x 2 y 2e 1 x over x 3 y 0 又注意到 D e 1 x e 1 x x 2 displaystyle De 1 x e 1 x over x 2 因此原方程等价于 e 1 x y 2 e 1 x x 3 y 0 displaystyle e 1 x y 2e 1 x over x 3 y 0 一般形式二阶常微分方程的积分因子 编辑 P x y Q x y R x y 0 displaystyle P x y Q x y R x y 0 两边同时乘以积分因子 m x 1 P x e Q x P x d x displaystyle mu x 1 over P x e int Q x P x mathrm d x 整理后得到 d d x m x P x y m x R x y 0 displaystyle d over dx mu x P x y mu x R x y 0 或者把积分因子写出来 d d x e Q x P x d x y R x P x e Q x P x d x y 0 displaystyle d over dx e int Q x P x mathrm d x y R x over P x e int Q x P x mathrm d x y 0 参阅 编辑简正模参考文献 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 施图姆 刘维尔理论 amp oldid 70710475, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,