等比数列

提示：此条目的主题不是几何级数。

等比数列，又名几何数列（英語：Geometric progression），是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比（英語：Common ratio）。

例如数列：

${\displaystyle 3,6,12,24,48,96,...}$

就是一个等比数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于${\displaystyle 2}$。

性質

如果一个等比数列的首项記作${\displaystyle a}$ ，公比記作${\displaystyle r}$ ，那么该等比数列第${\displaystyle n}$ 项${\displaystyle a_{n}}$ 的一般項为：

${\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}$ 

換句話說，任意一個等比数列${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 都可以寫成

${\displaystyle \{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}}$ 

在一個等比數列中，給定任意兩相連項${\displaystyle a_{n+1}}$ 和${\displaystyle a_{n}}$ （其中${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ），可知公比

${\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$ 

給定任意兩項${\displaystyle a_{m}}$ 和${\displaystyle a_{n}}$ ，則有公比

${\displaystyle r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}}$ 

這裡注意，若${\displaystyle m-n}$ 是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，${\displaystyle a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}}$ 。

更一般地說，有：

${\displaystyle a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}}$ 

證明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}}$ 

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其前一項和後一項的幾何平均：

${\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}$ 

此結果從上面直接可得。

如果有整數${\displaystyle m,n,p,q}$ ，使得 ${\displaystyle m+n=p+q}$ ，那么则有：

${\displaystyle a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}}$ 

證明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}}$ 

由此可將上面的性質一般化成：

${\displaystyle a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}}$ 

${\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}}$ 

其中${\displaystyle k}$ 是一個小於${\displaystyle n}$ 的正整數。

給定一個等比數列 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ，則有：

• ${\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}}$  是一個等比數列。
• ${\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}}$  是一個等比數列。
• ${\displaystyle \{\log _{b}(a_{n})\}}$  是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

${\displaystyle a_{n}=pq^{n}}$ 

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比${\displaystyle r=q}$ ，首項${\displaystyle a=pq}$ 。

等比数列和

一個等比數列的首${\displaystyle n}$ 項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作${\displaystyle S_{n}}$ 。

舉例來說，等比數列${\displaystyle \{1,2,4,8\}}$ 的和是${\displaystyle 1+2+4+8=15}$ 。

等比數列求和的公式如下：

${\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$ 

其中${\displaystyle a}$ 為首項，${\displaystyle n}$ 為項數，${\displaystyle r}$ 為公比，且${\displaystyle r\neq 1}$ 。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：

${\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}}$  ……(1)

将两边同乘以公比 r，有：

${\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}}$  ……(2)

(1)式减去(2)式，有：

${\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}}$ 

当${\displaystyle r\neq 1}$ 时，整理後得證。

當${\displaystyle r=1}$ 時，可以发现：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}}$ 

综上所述，等比数列的求和公式为：

${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}}$ 

當${\displaystyle -1<r<1}$ 時，注意到

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0}$ 

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}$ 

由此可見，當${\displaystyle -1<r<1}$ 時，幾何級數會收斂到一個固定值。

等比数列积

一個等比數列的首 n 項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作 P_n。

舉例來說，等比數列${\displaystyle \{1,2,4,8\}}$ 的積是${\displaystyle 1\times 2\times 4\times 8=64}$ 。

等比數列求積的公式如下：

${\displaystyle P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}}$ 

證明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}}$ 

第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為${\displaystyle n-1}$ 。

参见

• 序列
• 數列
• 級數
• 幾何級數
• 幾何平均
• 等差數列
• 等諧數列
• 国际象棋盘与麦粒问题

参考文献

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.