等比数列, 提示, 此条目的主题不是几何级数, 又名几何数列, 英語, geometric, progression, 是数列的一种, 在中, 任何相邻两项的比例相等, 该比值称为公比, 例如数列, displaystyle, 就是一个, 在这个数列中, 从第二项起, 每项与其前一项之公比都等于2, displaystyle, 目录, 性質, 参见, 参考文献性質, 编辑如果一个的首项記作a, displaystyle, nbsp, 公比記作r, displaystyle, nbsp, 那么该第n, display. 提示 此条目的主题不是几何级数 等比数列 又名几何数列 英語 Geometric progression 是数列的一种 在等比数列中 任何相邻两项的比例相等 该比值称为公比 例如数列 3 6 12 24 48 96 displaystyle 3 6 12 24 48 96 就是一个等比数列 在这个数列中 从第二项起 每项与其前一项之公比都等于2 displaystyle 2 目录 1 性質 2 等比数列和 3 等比数列积 4 参见 5 参考文献性質 编辑如果一个等比数列的首项記作a displaystyle a nbsp 公比記作r displaystyle r nbsp 那么该等比数列第n displaystyle n nbsp 项a n displaystyle a n nbsp 的一般項为 a n a r n 1 displaystyle a n ar n 1 nbsp 換句話說 任意一個等比数列 a n displaystyle a n nbsp 都可以寫成 a a r a r 2 a r n 1 displaystyle a ar ar 2 cdots ar n 1 nbsp 在一個等比數列中 給定任意兩相連項a n 1 displaystyle a n 1 nbsp 和a n displaystyle a n nbsp 其中a n 0 displaystyle a n neq 0 nbsp 可知公比 r a n 1 a n displaystyle r frac a n 1 a n nbsp 給定任意兩項a m displaystyle a m nbsp 和a n displaystyle a n nbsp 則有公比 r a m a n m n displaystyle r sqrt m n frac a m a n nbsp 這裡注意 若m n displaystyle m n nbsp 是偶數 則公比可取此結果的正值或負值 此外 在一個等比数列中 選取某一項 該項的前一項與後一項之積 為原來該項的平方 舉例來說 a 1 a 3 a 2 2 displaystyle a 1 times a 3 a 2 2 nbsp 更一般地說 有 a n 1 a n 1 a n 2 displaystyle a n 1 times a n 1 a n 2 nbsp 證明如下 a n 1 a n 1 a r n 2 a r n a 2 r 2 n 2 a r n 1 2 a n 2 displaystyle begin aligned a n 1 times a n 1 amp ar n 2 times ar n amp a 2 times r 2n 2 amp ar n 1 2 amp a n 2 end aligned nbsp 證畢 從另一個角度看 等比數列中的任意一項 是其前一項和後一項的幾何平均 a n a n 1 a n 1 displaystyle a n pm sqrt a n 1 cdot a n 1 nbsp 此結果從上面直接可得 如果有整數m n p q displaystyle m n p q nbsp 使得 m n p q displaystyle m n p q nbsp 那么则有 a m a n a p a q displaystyle a m cdot a n a p cdot a q nbsp 證明如下 a m a n a r m 1 a r n 1 a 2 r m n 2 a 2 r p q 2 a r p 1 a r q 1 a p a q displaystyle begin aligned a m cdot a n amp ar m 1 cdot ar n 1 amp a 2 r m n 2 amp a 2 r p q 2 amp ar p 1 cdot ar q 1 amp a p cdot a q end aligned nbsp 由此可將上面的性質一般化成 a n k a n k a n 2 displaystyle a n k cdot a n k a n 2 nbsp a n a n k a n k displaystyle a n pm sqrt a n k cdot a n k nbsp 其中k displaystyle k nbsp 是一個小於n displaystyle n nbsp 的正整數 給定一個等比數列 a n displaystyle a n nbsp 則有 b a n displaystyle b cdot a n nbsp 是一個等比數列 b a n displaystyle frac b a n nbsp 是一個等比數列 log b a n displaystyle log b a n nbsp 是一個等差數列 從等比數列的一般項可知 任意一個可以寫成 a n p q n displaystyle a n pq n nbsp 形式的數列 都是一個等比數列 其中公比r q displaystyle r q nbsp 首項a p q displaystyle a pq nbsp 等比数列和 编辑一個等比數列的首n displaystyle n nbsp 項之和 稱為等比数列和 sum of geometric sequence 或幾何級數 geometric series 記作S n displaystyle S n nbsp 舉例來說 等比數列 1 2 4 8 displaystyle 1 2 4 8 nbsp 的和是1 2 4 8 15 displaystyle 1 2 4 8 15 nbsp 等比數列求和的公式如下 S n a 1 r n 1 r displaystyle S n frac a 1 r n 1 r nbsp 其中a displaystyle a nbsp 為首項 n displaystyle n nbsp 為項數 r displaystyle r nbsp 為公比 且r 1 displaystyle r neq 1 nbsp 公式證明如下 将等比數列和写作以下形式 S n a a r a r 2 a r n 1 displaystyle S n a ar ar 2 cdots ar n 1 nbsp 1 将两边同乘以公比 r 有 r S n a r a r 2 a r n displaystyle rS n ar ar 2 cdots ar n nbsp 2 1 式减去 2 式 有 1 r S n a a r n displaystyle 1 r S n a ar n nbsp 当r 1 displaystyle r neq 1 nbsp 时 整理後得證 當r 1 displaystyle r 1 nbsp 時 可以发现 S n a a r a r 2 a r n 1 a a a a n n a a n displaystyle begin aligned S n amp a ar ar 2 cdots ar n 1 amp begin matrix underbrace a a a cdots a n end matrix amp n times a amp an end aligned nbsp 综上所述 等比数列的求和公式为 S n a 1 r n 1 r r 1 a n r 1 displaystyle S n begin cases frac a 1 r n 1 r amp r neq 1 an amp r 1 end cases nbsp 當 1 lt r lt 1 displaystyle 1 lt r lt 1 nbsp 時 注意到 lim n r n 0 displaystyle lim n rightarrow infty r n 0 nbsp 因此 我們可得無限項之和 sum to infinity 的公式為 S a 1 r displaystyle S infty frac a 1 r nbsp 由此可見 當 1 lt r lt 1 displaystyle 1 lt r lt 1 nbsp 時 幾何級數會收斂到一個固定值 等比数列积 编辑一個等比數列的首 n 項之積 稱為等比数列積 product of geometric sequence 記作 Pn 舉例來說 等比數列 1 2 4 8 displaystyle 1 2 4 8 nbsp 的積是1 2 4 8 64 displaystyle 1 times 2 times 4 times 8 64 nbsp 等比數列求積的公式如下 P n a n r n n 1 2 displaystyle P n a n cdot r frac n n 1 2 nbsp 證明如下 P n a a r a r 2 a r n 1 a n r 0 1 2 n 1 a n r n n 1 2 displaystyle begin aligned P n amp a cdot ar cdot ar 2 cdot cdots cdot ar n 1 amp a n cdot r 0 1 2 cdots n 1 amp a n cdot r frac n n 1 2 end aligned nbsp 第二步 公比r的指數中 0來自於數列的第一項 最後一步 使用了等差數列的求和公式 通項為n 1 displaystyle n 1 nbsp 参见 编辑序列 數列 級數 幾何級數 幾何平均 等差數列 等諧數列 国际象棋盘与麦粒问题参考文献 编辑Bhardwaj S Abiy T Kulkarni O et al Geometric Progressions From Brilliant https brilliant org wiki geometric progressions 页面存档备份 存于互联网档案馆 Weisstein Eric W Geometric Sequence From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com GeometricSequence html 页面存档备份 存于互联网档案馆 Weisstein Eric W Geometric Series From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com GeometricSeries html 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 等比数列 amp oldid 76944841, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,