皮亚诺存在性定理

在数学中, 特别是在常微分方程的研究中，皮亚诺存在定理（又称为皮亚诺定理、柯西-皮亚诺定理）是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。

历史

这个定理最早由数学家朱塞佩·皮亚诺在1886年发表，但是他给出的证明是错误的。1890年他又发表了一个正确的运用逐次逼近法的证明。

定理

设 D 为R × R 的一个开子集，以及一个连续函数：

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ 

皮亚诺存在定理：定义在 D 上的一个一阶线性常微分方程（其中 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$ ）

${\displaystyle f\left(x,y(x)\right)=y'(x)}$ 

${\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}$ 

必然有局部解。也就是说，必定存在一个关于 ${\displaystyle x_{0}}$  的邻域 I，以及一个函数：

${\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }$ 

满足${\displaystyle \forall x\in I,\ \ f\left(x,z(x)\right)=z'(x)}$ 。

相关定理

皮亚诺存在定理可以和另外一个存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比较。相比起皮亚诺存在定理，皮卡-林德洛夫定理对函数 ${\displaystyle f}$  的要求更严格，但结论也更强。皮卡-林德洛夫定理要求函数 ${\displaystyle f}$  局部地满足利普希茨条件，也就是说在任意一点 x 的附近，都有一个常数 ${\displaystyle K_{x}}$  和一个邻域 ${\displaystyle I_{x}}$ ，使得对于${\displaystyle I_{x}}$ 中任意的${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 两点，都有：

${\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K_{x}|a-b|}$ 。

这个要求比单纯的连续性要高，但是得出的结论也更强了：皮卡-林德洛夫定理说明，在满足上述要求时，微分方程的局部解不仅存在而且是唯一的。

例子

设${\displaystyle T>0}$ 为一个常数，考虑函数

${\displaystyle h'=\left\vert h\right\vert ^{\frac {1}{2}},\ \ \ y(T)=0}$ ，其定义域设为 ${\displaystyle \left[0,T\right]}$ 。

根据皮亚诺存在定理，由于函数${\displaystyle f:x\to \left\vert x\right\vert ^{\frac {1}{2}}}$ 在${\displaystyle \left[0,T\right]}$ 上连续，微分方程有解。但由于 ${\displaystyle f}$  在0处的导数为正无穷，${\displaystyle f}$  在${\displaystyle \left[0,1\right]}$ 上不满足利普希茨条件，于是解不一定是唯一的。事实上：对于任意的${\displaystyle 0<t_{0}<T}$ ，定义为：当${\displaystyle t\leq t_{0}}$  时 ${\displaystyle h(t)=(t-t_{0})^{2}/4}$ ，当 ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq T}$  时 ${\displaystyle y=0}$ 的函数 ${\displaystyle h}$  都是微分方程的解，也就是说解有无穷多个。这个反例来源于一个物理模型：假设有一个漏水的容器，其水面高度（函数${\displaystyle h}$ ）和时间的关系由以上的微分方程定义的话，那么由于事实上可以观测到漏水的过程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水后的某个时刻的状态（${\displaystyle y(T)=0}$ ）的话，是无法倒过来推测原来的水位有多高的（也就是说没有唯一解）。

参考来源

• G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
• G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
• W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
• E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.