柯西-利普希茨定理

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

局部定理

设E为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}}$

其中U为E中的一个开集，I是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)}$

如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说，

${\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|}$

那么对于任一给定的初始条件： ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ ，其中 ${\displaystyle t_{0}\in I}$ 、${\displaystyle x_{0}\in U}$ ，微分方程（1）存在一个解 ${\displaystyle (J,x(t))}$ ，其中 ${\displaystyle J\subset I}$  是一个包含 ${\displaystyle t_{0}}$  的区间，${\displaystyle x(t)}$  是一个从 ${\displaystyle J}$  射到 ${\displaystyle U}$  的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点${\displaystyle t_{0}}$ 的足够小的${\displaystyle J}$ 区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ ）时，下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_{n+1} = \Phi (y_n)} ，使得${\displaystyle \Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)}$ ，这样，如果这个序列有一个收敛点 ${\displaystyle y}$  ，那么${\displaystyle y}$ 为函数${\displaystyle \Phi }$ 的不动点，这时就有${\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)}$ ，于是我们构造出了一个解${\displaystyle y}$ 。为此，我们从常数函数

${\displaystyle y_{0}(t)=x_{0}\ }$ 开始。令

${\displaystyle \Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.}$ 

这样构造出来的函数列${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 0}}$ 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle U}$  中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，${\displaystyle \Phi }$ 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于${\displaystyle \Phi }$ 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解${\displaystyle \ (J,x(t))}$ 、${\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}$ ，定义一个序关系：${\displaystyle \ (J,x(t))}$ 小于${\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}$ 当且仅当 ${\displaystyle J\subset J^{\prime }}$ ，并且${\displaystyle x^{\prime }(t)}$ 在${\displaystyle \ J}$ 上的值与${\displaystyle \ x(t)}$ 一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程

对于一元的高阶常微分方程

${\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)}$ ，

只需构造向量${\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))}$ 和相应的映射${\displaystyle \ \Phi }$ ，就可以使得（2）变为${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)}$ 。这时的初始条件为${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$ ，即

${\displaystyle {\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}}$ 

扩展至偏微分方程

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

参见

• 常微分方程
• 柯西-克瓦列夫斯基定理
• 动力系统
• 初值問題
• 利普希茨条件
• 弗罗贝尼乌斯定理
• 皮亚诺存在性定理

参考资料

• 常微分方程（组）基本理论^{[永久失效連結]}
• M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table （页面存档备份，存于互联网档案馆） 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）

相关链接

• 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文^{[永久失效連結]}