漸伸線, involute, 或稱漸開線, evolvent, 和漸屈線, evolute, 是曲線的微分幾何上互為表裡的概念, 若曲線a是曲線b的, 曲線b是曲線a的漸屈線, 在曲線上選一定點s, 有一動點p由s出發沿曲線移動, 選在p的切線上的q, 使得曲線長sp, 和直線段長pq, 相同, 就是q的軌跡, 若曲線b有參數方程r, displaystyle, mathbb, mathbb, 其中, displaystyle, prime, 曲線a的方程為t, displaystyle, mapsto, prim. 漸伸線 involute 或稱漸開線 evolvent 和漸屈線 evolute 是曲線的微分幾何上互為表裡的概念 若曲線A是曲線B的漸伸線 曲線B是曲線A的漸屈線 在曲線上選一定點S 有一動點P由S出發沿曲線移動 選在P的切線上的Q 使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同 漸伸線就是Q的軌跡 若曲線B有參數方程r R R n displaystyle r mathbb R to mathbb R n 其中 r s 1 displaystyle r prime s 1 曲線A的方程為t r t t r t displaystyle t mapsto r t tr prime t 曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集 若該曲線有參數方程r R R n displaystyle r mathbb R to mathbb R n r s 1 displaystyle r prime s 1 則其漸屈線為 s r s r s r s 2 displaystyle s to r s r s over r s 2 每條曲線可有無窮多條漸伸線 但只有一條漸屈線 漸屈線 漸伸線懸鏈線 曳物線圓內螺線 外擺線 相似的圓內螺線 外擺線擺線 相同的擺線半立方拋物線 拋物線目录 1 參數化曲線 2 範例 2 1 圓的漸伸線 2 2 懸鏈線的漸開線 2 3 擺線的漸開線 3 參見 4 外部連結參數化曲線 编辑漸開線方程曲線的參數化定義的函數 x t y t 是 X x y x x a t x 2 y 2 d t x 2 y 2 displaystyle X x y x frac x int a t sqrt x 2 y 2 dt sqrt x 2 y 2 nbsp Y x y y y a t x 2 y 2 d t x 2 y 2 displaystyle Y x y y frac y int a t sqrt x 2 y 2 dt sqrt x 2 y 2 nbsp 範例 编辑 nbsp nbsp 圓的漸伸線 反向 by unwinding nbsp 懸鏈線的漸開線是一個 曳物線 圓的漸伸線 编辑 圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形 在笛卡兒坐標系中 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成 x a cos t t sin t displaystyle x a left cos t t sin t right nbsp y a sin t t cos t displaystyle y a left sin t t cos t right nbsp 其中a displaystyle a nbsp 是圓的半徑 t displaystyle t nbsp 為參數 在 極坐標系中 r 8 displaystyle r theta nbsp 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成 r a sec a displaystyle r a sec alpha nbsp 8 tan a a displaystyle theta tan alpha alpha nbsp 其中 a displaystyle a nbsp 是圓的半徑 a displaystyle alpha nbsp 為參數通常 一個圓的漸開線常被寫成寫成 r a 1 t 2 displaystyle r a sqrt 1 t 2 nbsp 8 arctan cos t t sin t sin t t cos t displaystyle theta arctan frac cos t t sin t sin t t cos t nbsp 歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀 這個設計普遍存在於目前使用 稱為漸開線齒輪 懸鏈線的漸開線 编辑 一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 形成曳物線 在笛卡兒坐標系中 一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成 x t t a n h t displaystyle x t mathrm tanh t nbsp y s e c h t displaystyle y mathrm sech t nbsp 其中t 是參數 而sech是雙曲正割函數 1 cosh x 衍生用r s sinh 1 s cosh sinh 1 s displaystyle r s sinh 1 s cosh sinh 1 s nbsp 我們得到 r s 1 s 1 s 2 displaystyle r prime s 1 s sqrt 1 s 2 nbsp 且r t t r t sinh 1 t t 1 t 2 1 1 t 2 displaystyle r t tr prime t sinh 1 t t sqrt 1 t 2 1 sqrt 1 t 2 nbsp 替代成t 1 y 2 y displaystyle t sqrt 1 y 2 y nbsp 可得到 s e c h 1 y 1 y 2 y displaystyle rm sech 1 y sqrt 1 y 2 y nbsp 擺線的漸開線 编辑 一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中 一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成 x r t sin t displaystyle x r t sin t nbsp y r 1 cos t displaystyle y r 1 cos t nbsp 其中t是角度 r是半徑參見 编辑漸屈線 渦旋壓縮機 漸開線齒輪外部連結 编辑Xah Special Plane Curves Involute 页面存档备份 存于互联网档案馆 Evolute 页面存档备份 存于互联网档案馆 Mathworld 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 漸伸線 amp oldid 69603368, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,