悬链线

悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

不同的悬链线

鐵鏈形式的悬链线。

蜘蛛絲形成多個（近似的）悬链线。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年虎克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推导出數學模型。

它的公式为：

${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}}$或者简单地表示为${\displaystyle y={\frac {a\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}{2}}}$

其中cosh是雙曲余弦函数，${\displaystyle a}$ 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，${\displaystyle x}$軸為其準線。具体来说，${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}}$，其中${\displaystyle g}$是重力加速度，${\displaystyle \lambda }$是线密度（假设绳子密度均匀），而${\displaystyle T_{0}}$是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {L}{a}}=\sinh {\frac {d}{a}}}$

其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

方程的推导

表达式的证明

如右图，设最低点${\displaystyle A}$ 处受水平向左的拉力${\displaystyle H}$ ，右悬挂点处表示为${\displaystyle C}$ 点，在${\displaystyle AC}$ 弧线区段任意取一段设为${\displaystyle B}$ 点，则${\displaystyle AB}$ 受一个斜向上的拉力${\displaystyle T}$ ，设${\displaystyle T}$ 和水平方向夹角为${\displaystyle \theta }$ ，绳子的质量为${\displaystyle m}$ ,受力分析有：

${\displaystyle T\sin \theta =mg}$ ；

${\displaystyle T\cos \theta =H}$ ，

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}}$ ，

${\displaystyle mg=\rho s}$ ，　其中${\displaystyle s}$ 是右段${\displaystyle AB}$ 绳子的长度，${\displaystyle \rho }$ 是绳子线重量密度，${\displaystyle \tan \theta }$ 为切线方向，记${\displaystyle a={\frac {\rho }{H}}}$ , 代入得微分方程${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as}$ ;

利用弧长公式${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x}$ ;

所以${\displaystyle s=\int {\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x}$ ;

再把${\displaystyle s}$ 代入微分方程得${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)}$ 

对于${\displaystyle (1)}$ 设${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ 微分处理

得 ${\displaystyle p'={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)}$ 

其中${\displaystyle p'={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$ ;

对(2)分离常量求积分

${\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int adx}$ 

得${\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})=ax+C}$ ，即${\displaystyle \mathrm {arsinh} p=ax+C}$ 

其中${\displaystyle \mathrm {arsinh} p}$ 为反双曲函数;

当${\displaystyle x=0}$ 时，${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0}$ ；

带入得${\displaystyle C=0}$ ；

整理得${\displaystyle \mathrm {arsinh} p={\frac {\rho x}{H}}}$ 

工程中的应用

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用，${\displaystyle a}$ 称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

${\displaystyle y=a\ \left(\cosh {\frac {x}{a}}-1\right)}$ 

还有以下几个公式，可能也有用：

${\displaystyle L=a\ \sinh {\frac {x}{a}}}$ 

${\displaystyle \tan \alpha =\sinh {\frac {x}{a}}}$ 

${\displaystyle F_{0}=a\ \gamma }$ 

其中${\displaystyle L}$ 是曲线中某点到0点的链索长度，${\displaystyle \alpha }$ 是该点的正切角，${\displaystyle F_{0}}$ 是0点处的水平张力，${\displaystyle \gamma }$ 是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

參考資料

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：悬链线

英文维基文库中的《1911年版大英百科全書》條目：Catenary