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二月 06, 2023
正常重力, 英語, normal, gravity, 是正常椭球体在其外部空间所产生的重力, 由意大利数学物理学家卡洛, 索米里安在1929年引入, 在大地测量学与地球物理学的研究中常用于对真实地球所产生的重力进行近似, 在场中, 正常椭球所产生的重力位和能够以较为简单的函数关系表达, 且与真实的地球重力位相接近, 而即为这一位所对应的重力, 212根据不同的定义方式, 真实重力与之间的差异被称为重力异常或重力扰动, 与真实重力之间的比例约为, displaystyle, 由于能够被精确计算, 其在高程系统中也用于. 正常重力 英語 Normal gravity 是正常椭球体在其外部空间所产生的重力 1 由意大利数学物理学家卡洛 索米里安在1929年引入 2 在大地测量学与地球物理学的研究中常用于对真实地球所产生的重力进行近似 在正常重力场中 正常椭球所产生的重力位和能够以较为简单的函数关系表达 且与真实的地球重力位相接近 而正常重力即为这一正常重力位所对应的重力 3 190 212根据不同的定义方式 真实重力与正常重力之间的差异被称为重力异常或重力扰动 正常重力与真实重力之间的比例约为 99 995 displaystyle 99 995 4 15 由于正常重力能够被精确计算 其在高程系统中也用于代替真实重力来作为正常高系统所采用的测量值 5 42 目录 1 分布情况 2 数学表达 3 计算公式 3 1 克莱罗定理 3 2 正常重力公式 3 2 1 对称形式 3 2 2 截断形式 3 2 3 闭合形式 3 2 4 数值形式 3 3 向上延拓公式 4 相关条目 5 注释 6 参考文献分布情况 编辑 正常椭球外部的重力场分布 红色表示椭球表面 蓝色表示等位面 而绿色则表示正常椭球的铅垂线 可见短轴附近的等位面比长轴附近的等位面更为密集 表面前者梯度更大 正常重力值也越大 正常重力值在两极最大 在赤道处最小 随纬度降低呈递减趋势 相对于赤道面对称而与经度无关 椭球面上几个特殊的重力值分别为 符号 数值 含义 参考文献g e displaystyle gamma e 9 780 326 7715 m s 2 displaystyle 9 780 326 7715 text m cdot text s 2 椭球赤道处的正常重力值 6 117g p displaystyle gamma p 9 832 186 3685 m s 2 displaystyle 9 832 186 3685 text m cdot text s 2 椭球极点处的正常重力值 6 117g 45 displaystyle gamma 45 9 806 199 203 m s 2 displaystyle 9 806 199 203 text m cdot text s 2 椭球45 纬线处的正常重力值 7 g displaystyle bar gamma 9 797 644 656 m s 2 displaystyle 9 797 644 656 text m cdot text s 2 整个椭球面上的平均正常重力值 7 数学表达 编辑设正常椭球体在其外部空间产生的正常重力位为 U displaystyle U 则正常重力矢量被定义为该正常重力位的梯度 8 68 g U displaystyle boldsymbol gamma nabla U 在椭球坐标系 u b l displaystyle u beta lambda 註 1 中 正常重力矢量的三个分量具体表示为 8 68 g u 1 w U u displaystyle gamma u 1 over w partial U over partial u g b 1 w u 2 E 2 U b displaystyle gamma beta 1 over w sqrt u 2 E 2 partial U over partial beta g l 1 u 2 E 2 cos b U l 0 displaystyle gamma lambda 1 over sqrt u 2 E 2 cos beta partial U over partial lambda 0 上式中的 w u 2 E 2 sin 2 b u 2 E 2 displaystyle w sqrt u 2 E 2 sin 2 beta over u 2 E 2 是为简化公式而引入的辅助量 8 67 E displaystyle E 是椭球的半焦距 8 39 又因正常重力位 U displaystyle U 与经度无关 所以正常重力矢量的经度分量为零 计算公式 编辑由正常重力的数学表达式可以得出 正常重力的值可以根据正常重力位 U displaystyle U 的偏导数 以及正常椭球体本身的几何性质得到 而正常椭球体的确定只需要四个基本参数 椭球的半长轴 a displaystyle a 几何扁率 f displaystyle f 赤道上的正常重力值 g e displaystyle gamma e 以及地球自转的角速度 w displaystyle omega 其他的几何参数可以由上述基本参数确定 8 79 椭球的半短轴 b a 1 f displaystyle b a 1 f 椭球的第一偏心率 e a 2 b 2 a 2 f f 2 displaystyle e sqrt a 2 b 2 a 2f f 2 椭球的第二偏心率 e a 2 b 2 b displaystyle e sqrt a 2 b 2 b 亦有一些坐标系统会选择其他的基本参数 例如GRS80椭球选用的是地心引力常数 G M displaystyle GM 地球动力学形状因子 J 2 displaystyle J 2 地球自转角速度 w displaystyle omega 和椭球的半长轴 a displaystyle a 7 但其他的椭球参数仍能由这些基本参数计算而得 克莱罗定理 编辑 法国数学家克莱罗在其发表于1743年的著作中给出了地球的几何扁率 f displaystyle f 与重力扁率 f displaystyle f 之间的对应关系 即克莱罗定理 9 在顾及至扁率的平方项的情况下 该定理可表述为 f f 5 2 w 2 b g e 1 9 35 e 2 displaystyle f f 5 over 2 omega 2 b over gamma e 1 9 over 35 e 2 重力扁率 f displaystyle f 的定义与几何扁率类似 其由椭球赤道处的重力 g e displaystyle gamma e 和椭球极点处的重力 g p displaystyle gamma p 决定 8 76 f g p g e g e displaystyle f gamma p gamma e over gamma e g e G M a 2 1 m 3 7 e 2 m displaystyle gamma e GM over a 2 left 1 m 3 over 7 e 2 m right g p G M a b 1 3 2 m 3 14 e 2 m displaystyle gamma p GM over ab left 1 3 over 2 m 3 over 14 e 2 m right 其中 m w 2 a 2 b G M displaystyle m omega 2 a 2 b over GM 8 69 且有 w 2 b g e m 3 2 m 2 displaystyle omega 2 b over gamma e m 3 over 2 m 2 8 76 正常重力公式 编辑 对称形式 编辑 克莱罗定理给出了椭球赤道处的正常重力值和极点处的正常重力值 而椭球面上其他纬度的正常重力则可由正常重力公式计算得到 这一公式由索米里安在1929年给出 2 8 70 g a g p sin 2 b b g e cos 2 b a 2 sin 2 b b 2 cos 2 b displaystyle gamma a gamma p sin 2 beta b gamma e cos 2 beta over sqrt a 2 sin 2 beta b 2 cos 2 beta 其中 b displaystyle beta 是椭球面上某点的归化纬度 顾及到大地纬度 f displaystyle varphi 与归化纬度 b displaystyle beta 存在如下转换关系 tan b b a tan f displaystyle tan beta b over a tan varphi 则正常重力公式也可以表达成大地纬度 f displaystyle varphi 的函数 g a g e cos 2 f b g p sin 2 f a 2 cos 2 f b 2 sin 2 f displaystyle gamma a gamma e cos 2 varphi b gamma p sin 2 varphi over sqrt a 2 cos 2 varphi b 2 sin 2 varphi 截断形式 编辑 正常重力公式也可以展开为几何扁率 f displaystyle f 的级数 其截断形式为 8 77 g g e 1 f 2 sin 2 f f 4 sin 4 f displaystyle gamma gamma e 1 f 2 sin 2 varphi f 4 sin 4 varphi 其中的系数为 f 2 f 5 2 m 1 2 f 2 26 7 f m 15 4 m 2 displaystyle f 2 f 5 over 2 m 1 over 2 f 2 26 over 7 fm 15 over 4 m 2 f 4 1 2 f 2 5 2 f m displaystyle f 4 1 over 2 f 2 5 over 2 fm 这一公式也可写为 g g e 1 f sin 2 f 1 4 f 4 sin 4 2 f displaystyle gamma gamma e 1 f sin 2 varphi 1 over 4 f 4 sin 4 2 varphi 其中的 f f 2 f 4 displaystyle f f 2 f 4 为上述提到的重力扁率 闭合形式 编辑 正常重力公式还可以闭合形式表达 10 4 1 g g e 1 k sin 2 f 1 e 2 s i n 2 f displaystyle gamma gamma e 1 k sin 2 varphi over sqrt 1 e 2 sin 2 varphi 其中的系数 k displaystyle k 为 k b g p a g e a g e displaystyle k b gamma p a gamma e over a gamma e 数值形式 编辑 采用不同的椭球参数和不同的表达形式 正常重力公式可以有不同的数值计算形式 常用的几条公式包括 说明 时间 公式 精度 参考文献由国际大地测量协会推荐使用 1930年 g 9 780 490 1 0 005 2884 sin 2 f 0 000 0059 sin 4 2 f m s 2 displaystyle gamma 9 780 490 1 0 005 2884 sin 2 varphi 0 000 0059 sin 4 2 varphi text m cdot text s 2 11 78由国际大地测量与地球物理联合会推荐使用 使用于GRS80坐标系 1979年 g 9 780 327 1 0 005 3024 sin 2 f 0 000 0058 sin 4 2 f m s 2 displaystyle gamma 9 780 327 1 0 005 3024 sin 2 varphi 0 000 0058 sin 4 2 varphi text m cdot text s 2 0 1 mgal displaystyle 0 1 text mgal 7 使用于WGS84坐标系 1984年 g 9 780 325 3359 1 0 001 931 852 646 396 sin 2 f 1 0 006 694 379 990 141 sin 2 f m s 2 displaystyle gamma 9 780 325 3359 left frac 1 0 001 931 852 646 396 sin 2 varphi sqrt 1 0 006 694 379 990 141 sin 2 varphi right text m cdot text s 2 10 4 1向上延拓公式 编辑 在椭球面外部不远处 其正常重力 g h displaystyle gamma h 可以在其沿法线到椭球面上投影处展开为正常高 h displaystyle h 的级数 8 78 g h g g h h 1 2 2 g h 2 h 2 displaystyle gamma h gamma partial gamma over partial h h 1 over 2 partial 2 gamma over partial h 2 h 2 cdots 由广义布隆斯方程 椭球面的外部空间的重力梯度与椭球面 水准面 的平均曲率半径 J displaystyle J 的关系为 8 78 g h 2 g J 2 w 2 2 g a 1 f m 2 f sin 2 f displaystyle partial gamma over partial h 2 gamma J 2 omega 2 2 gamma over a left 1 f m 2f sin 2 varphi right 又二次导数 2 g h 2 displaystyle partial 2 gamma partial h 2 是微小量 可以将其近似近似于在球面外部微分 即以半长轴 a displaystyle a 代替 r displaystyle r 得到 8 78 2 g h 2 6 G M a 4 6 g a 2 displaystyle partial 2 gamma over partial h 2 6GM over a 4 6 gamma over a 2 得到正常重力的向上延拓公式为 8 79 g h g 1 2 a 1 f m 2 f sin 2 f h 3 a 2 h 2 displaystyle gamma h gamma left 1 2 over a left 1 f m 2f sin 2 varphi right h 3 over a 2 h 2 right 上式的数值形式近似为 5 27 g h g 0 3086 h 0 72 10 7 h 2 displaystyle gamma h gamma 0 3086h 0 72 times 10 7 h 2 相关条目 编辑重力异常 布隆斯公式似大地水准面注释 编辑 其中 u displaystyle u 表示椭球的半短轴 b displaystyle beta 表示归化纬度 l displaystyle lambda 表示经度参考文献 编辑 GeographicLib Normal gravity geographiclib sourceforge io 2020 04 13 原始内容存档于2021 05 06 2 0 2 1 Somigliana Carlo Teoria generale del campo gravitazionale dell ellissoide di rotazione Libr Editr Politecnica 1929 意大利语 宁津生 管泽霖 编 地球形状及外部重力场 测绘出版社 1981 154 293 Jekeli C Potential Theory and Static Gravity Field of the Earth Treatise on Geophysics Elsevier 2007 11 42 2020 04 15 ISBN 978 0 444 52748 6 doi 10 1016 b978 044452748 6 00054 7 原始内容存档于2018 07 01 英语 5 0 5 1 孔祥元 郭际明 刘宗泉 大地测量学基础 武汉大学出版社 2001 ISBN 978 7 30 707562 7 6 0 6 1 Torge Wolfgang Geodesy Walter de Gruyter GmbH amp Co KG 2001 ISBN 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