正則變換

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。

定義

點變換（point transformation）將廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})}$ 變換成廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})}$ ，點變換方程式的形式為

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}$ ；

其中，${\displaystyle t}$ 是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})}$ 同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}$ ，

${\displaystyle p_{i}=p_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})}$ 是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$ 變換為一組新的正則坐標${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ ，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}}$ ，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}}$ ；

新的哈密頓方程式為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}}$ ，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ ；

其中，${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$ 、${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$ 分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處

思考一個物理系統的哈密頓量

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$ 。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標${\displaystyle q_{i}}$ 無關，則稱${\displaystyle q_{i}}$ 為可略坐標（ignorable coordinate），或循環坐標（cyclic coordinate）：

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0}$ 。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0}$ 。

所以，廣義動量${\displaystyle p_{i}}$ 是常數${\displaystyle k_{i}}$ 。

假設一個系統裏有${\displaystyle n}$ 個廣義坐標是可略坐標。找出這${\displaystyle n}$ 個可略坐標，則可以使這系統減少${\displaystyle 2n}$ 個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法

主項目：正則變換生成函數

採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})}$ 變換到${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})}$ 。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]dt=0}$ 、

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\right]dt=0}$ 。

那麼，必須令

${\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+{\frac {dG}{dt}}}$ ；

其中，${\displaystyle \sigma }$ 是標度因子，${\displaystyle G}$ 是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個${\displaystyle \sigma \neq 1}$ 的延伸正則變換表示為

${\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}\right]=\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}}}$ 。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量： ${\displaystyle \mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} '}$ 、 ${\displaystyle \mathbf {P} =\beta \mathbf {P} '}$ 、 ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,'}$ 、 ${\displaystyle G=\alpha \beta G\,'}$ ；其中，${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$ 是用來刪除${\displaystyle \sigma }$ 的常數，${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}}$ 。經過一番運算，可以得到

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}=\alpha {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {P} '}}=\alpha {\dot {\mathbf {Q} }}'={\dot {\mathbf {Q} }}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=\beta {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {Q} '}}=-\beta {\dot {\mathbf {P} }}'=-{\dot {\mathbf {P} }}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\alpha \beta (\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}})=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}}$ 。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。

生成函數${\displaystyle G}$ 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ 保證是正則變換。

第一型生成函數

第一型生成函數${\displaystyle G_{1}}$ 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$ 。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$ 。

新廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 和舊廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} }$ 都是自變量，其對於時間的全導數${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}}$ 和${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ 互相無關，所以，以下${\displaystyle 2N+1}$ 個方程式都必須成立：

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}}$ ，（2）

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ ，（3）

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$ 。（4）

這${\displaystyle 2N+1}$ 個方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ ，步驟如下：

第一組的${\displaystyle N}$ 個方程式（2），設定了${\displaystyle \mathbf {p} }$ 的${\displaystyle N}$ 個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$ 。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 的${\displaystyle N}$ 個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$ 。（5）

第二組的${\displaystyle N}$ 個方程式（3），設定了${\displaystyle \mathbf {P} }$ 的${\displaystyle N}$ 個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$ 。

代入函數方程式（5），可以算出${\displaystyle \mathbf {P} }$ 的${\displaystyle N}$ 個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$ 。（6）

從${\displaystyle 2N}$ 個函數方程式（5）、（6），可以逆算出${\displaystyle 2N}$ 個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$ ，

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$ 。

代入新哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ 的方程式（4），可以得到

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$ 。

第二型生成函數

第二型生成函數${\displaystyle G_{2}}$ 的參數是舊廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} }$ 、新廣義動量${\displaystyle \mathbf {P} }$  與時間：

${\displaystyle G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$ ；

以下${\displaystyle 2N+1}$ 方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ ：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$ ，　

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$ ，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$ 。

第三型生成函數

第三型生成函數${\displaystyle G_{3}}$  的參數是舊廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} }$ 、新廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 與時間：

${\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$ 。

以下${\displaystyle 2N+1}$ 方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ ：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$ ，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ ，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$ 。

第四型生成函數

第四型生成函數${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$ 的參數是舊廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} }$ 、新廣義動量${\displaystyle \mathbf {P} }$ 與時間：

${\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$ 。

以下${\displaystyle 2N+1}$ 方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$ ：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$ ，

${\displaystyle \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$ ，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$ 。

實例1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

${\displaystyle G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$ 。

生成函數的導數分別為

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} }$ ，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} }$ 。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$ 。

實例2

再擧一個比較複雜的例子。讓

${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} }$ ；

這裏，${\displaystyle \mathbf {g} }$ 是一組${\displaystyle N}$ 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)}$ 。

不變量

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

辛條件

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個${\displaystyle 2N\times 1}$ 的豎矩陣${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$  :

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]}$ 。

變數向量${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ 將${\displaystyle \mathbf {q} }$ 與${\displaystyle \mathbf {p} }$ 包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$ ；

這裏，${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ 是辛連結矩陣、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ 改變成新正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}}$ ，${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}$ ；哈密頓量也從舊的哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 改變成新的哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ，${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}}$ ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}$ ；

這裏，${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}}$ 。

用第一型生成函數${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$ ，則${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$ 。

取${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)}$ 關於時間${\displaystyle t}$ 的導數，

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}}$ ；

這裏，${\displaystyle \mathbf {M} }$ 是亞可比矩陣，${\displaystyle M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}}$ 。

代入哈密頓方程式，

${\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}}$  ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案^[1]，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

${\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}$ 。

而${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})}$ ，所以，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}}$ 。

代回前一個方程式，取${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}}$ 的係數，則可以得到

${\displaystyle \mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}}$ 。

經過一番運算，

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}}$ ；

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}}$ ；

可以求出辛條件：

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$ 。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量

在相空间裏，兩個函數${\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$ 關於正則坐標${\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }$ 的帕松括號定義為

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}$ 。

用辛標記，

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$ 。

立刻，可以得到下述關係：

${\displaystyle {\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0}$ ，

${\displaystyle {\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}}$ 。

定義基本帕松括號${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}$ 為一個方矩陣，其中，元素${\displaystyle ij}$ 的值是${\displaystyle {\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}}$ 。那麼，

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$ 。

思考一個變換${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}$ 。新坐標的基本帕松括號為

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$ 。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣${\displaystyle M}$ 是

${\displaystyle M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$ 。

代入前一個方程式，則

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} }$ 。

假若這變換是正則變換，辛條件${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$ 必須成立，

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$ 。

相反地，假若${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$ ，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}$ ，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量

思考兩個函数${\displaystyle f,\ g}$ 對於正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ 的泊松括號

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}}$ 

假若這變換是正則變換，辛條件${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$ 必須成立，

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}}$ 。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}}$ ，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱

• 正則變換列表
• 正則座標
• 帕松括號
• 辛矩陣
• 辛拓撲
• 辛群

參考文獻

1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).