機率流, 在量子力學裏, 又稱為機率通量, 是描述機率密度流動的物理量, 假若將機率密度想像為非均勻流體, 那麼, 就是這流體的流率, 機率密度乘以速度, 目录, 定義, 連續方程式與機率保守定律, 連續方程式導引, 範例, 平面波, 盒中粒子, 參閱定義, 编辑在量子力學裏, 從機率守恆可以得到, 機率連續性方程式, 設定一個量子系統的波函數為, displaystyle, 定義, displaystyle, mathbf, displaystyle, mathbf, stackrel, frac, hbar, . 在量子力學裏 機率流 又稱為機率通量 是描述機率密度流動的物理量 假若將機率密度想像為非均勻流體 那麼 機率流就是這流體的流率 機率密度乘以速度 目录 1 定義 1 1 連續方程式與機率保守定律 1 2 連續方程式導引 2 範例 2 1 平面波 2 2 盒中粒子 3 參閱定義 编辑在量子力學裏 從機率守恆可以得到 機率連續性方程式 設定一個量子系統的波函數為 PS x t displaystyle Psi x t 定義機率流 J displaystyle mathbf J 為 J d e f ℏ 2 m i PS PS PS PS ℏ m Im PS PS displaystyle mathbf J stackrel def frac hbar 2mi left Psi boldsymbol nabla Psi Psi boldsymbol nabla Psi right frac hbar m mbox Im Psi boldsymbol nabla Psi 其中 ℏ displaystyle hbar 是約化普朗克常數 m displaystyle m 是質量 PS displaystyle Psi 是 PS displaystyle Psi 是共軛複數 Im displaystyle mbox Im 是取括弧內項目的虛部 連續方程式與機率保守定律 编辑 機率流滿足量子力學的連續方程式 r t J 0 displaystyle frac partial rho partial t boldsymbol nabla cdot mathbf J 0 其中 r PS 2 displaystyle rho Psi 2 是機率密度 應用高斯公式 等價地以積分方程式表示 d d t V PS 2 d 3 r S J d a 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d t int mathbb V Psi 2 mathrm d 3 r oint mathbb S mathbf J cdot mathrm d mathbf a 0 1 其中 V displaystyle mathbb V 是任意三維區域 S displaystyle mathbb S 是 V displaystyle mathbb V 的邊界曲面 這就是量子力學機率守恆定律的方程式 方程式 1 左邊第一個體積積分項目 不包括對於時間的偏微分 即是測量粒子位置時 粒子在 V displaystyle mathbb V 內的機率 第二個曲面積分是機率流出 V displaystyle mathbb V 的通量 總之 方程式 1 表明 粒子在三維區域 V displaystyle mathbb V 內的機率對於時間的微分 加上機率流出三維區域 V displaystyle mathbb V 的通量 兩者的總和等於零 連續方程式導引 编辑 測量粒子在三維區域 V displaystyle mathbb V 內的機率 P displaystyle P 是 P V r d 3 r V PS 2 d 3 r displaystyle P int mathbb V rho mathrm d 3 mathbf r int mathbb V Psi 2 mathrm d 3 mathbf r 機率對於時間的導數是 d P d t d d t V PS 2 d 3 r V PS t PS PS PS t d 3 r displaystyle frac mathrm d P mathrm d t frac mathrm d mathrm d t int mathbb V Psi 2 mathrm d 3 r int mathbb V left frac partial Psi partial t Psi Psi frac partial Psi partial t right mathrm d 3 r 2 假設 PS displaystyle Psi 的含時薛丁格方程式為 i ℏ PS t ℏ 2 2 m 2 PS U PS displaystyle i hbar frac partial Psi partial t frac hbar 2 2m nabla 2 Psi U Psi 其中 U r displaystyle U mathbf r 是位勢 將含時薛丁格方程式代入方程式 2 可以得到 d P d t V ℏ 2 m i PS 2 PS PS 2 PS d 3 r displaystyle frac mathrm d P mathrm d t int mathbb V frac hbar 2mi left Psi nabla 2 Psi Psi nabla 2 Psi right mathrm d 3 r 應用一則向量恆等式 可以得到 PS PS PS PS PS PS PS 2 PS PS PS PS 2 PS displaystyle boldsymbol nabla cdot left Psi boldsymbol nabla Psi Psi boldsymbol nabla Psi right boldsymbol nabla Psi cdot boldsymbol nabla Psi Psi nabla 2 Psi boldsymbol nabla Psi cdot boldsymbol nabla Psi Psi nabla 2 Psi 這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷 將抵銷後的方程式代入 d P d t V ℏ 2 m i PS PS PS PS d 3 r displaystyle frac mathrm d P mathrm d t int mathbb V boldsymbol nabla cdot left frac hbar 2mi left Psi boldsymbol nabla Psi Psi boldsymbol nabla Psi right right mathrm d 3 r 將機率密度方程式與機率流定義式代入 V r t d 3 r V J d 3 r displaystyle int mathbb V frac partial rho partial t mathrm d 3 r int mathbb V left boldsymbol nabla cdot mathbf J right mathrm d 3 r 這相等式對於任意三維區域 V displaystyle mathbb V 都成立 所以 被積項目在任何位置都必須等於零 r t J 0 displaystyle frac partial rho partial t boldsymbol nabla cdot mathbf J 0 範例 编辑平面波 编辑 設定一個粒子的波函數 PS displaystyle Psi 為三維空間的平面波 PS r t A e i k r e i w t displaystyle Psi mathbf r t Ae i mathbf k cdot mathbf r e i omega t 其中 A displaystyle A 是振幅常數 k displaystyle mathbf k 是波數 r displaystyle mathbf r 是位置 w displaystyle omega 是角頻率 t displaystyle t 是時間 PS displaystyle Psi 的機率流是 J ℏ 2 m i A 2 e i k r e i k r e i k r e i k r A 2 ℏ k m displaystyle mathbf J frac hbar 2mi A 2 left e i mathbf k cdot mathbf r boldsymbol nabla e i mathbf k cdot mathbf r e i mathbf k cdot mathbf r boldsymbol nabla e i mathbf k cdot mathbf r right A 2 frac hbar mathbf k m 這只是振幅的平方乘以粒子的速度 v p m ℏ k m displaystyle mathbf v frac mathbf p m frac hbar mathbf k m 請注意 雖然這平面波是定態 在每一個的地點 d PS 2 d t 0 displaystyle frac d Psi 2 dt 0 但是機率流仍舊不等於 0 displaystyle 0 因此可以推論 雖然機率密度不顯性地跟時間有關 粒子仍可能移動於空間中 盒中粒子 编辑 一維盒子位勢 即一個無限深方形阱 阱內位勢為 0 阱外位勢為無限大 思考一維盒中粒子問題 能級為 E n displaystyle E n 的本徵波函數 PS n displaystyle Psi n 是 PS n 2 L sin n p L x 0 x L displaystyle Psi n sqrt frac 2 L sin left frac n pi L x right qquad 0 leq x leq L 其中 L displaystyle L 是一維盒子的寬度 兩扇盒壁的位置分別在 x 0 displaystyle x 0 與 x L displaystyle x L 由於 PS n PS n displaystyle Psi n Psi n 其機率流為 J n ℏ 2 m i PS n PS n x PS n PS n x 0 displaystyle J n frac hbar 2mi left Psi n frac partial Psi n partial x Psi n frac partial Psi n partial x right 0 參閱 编辑階梯位勢 透射係數 取自 https zh wikipedia org w index php title 機率流 amp oldid 74029259, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,