極限 (數列)

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極限（英語：Limit）即為一個數列${\displaystyle \{a_{n}\}}$，使得${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$，其中${\displaystyle L}$為一確定的常數，亦即數列${\displaystyle \{a_{n}\}}$隨著${\displaystyle n}$的增加而趨近於${\displaystyle L}$。

定義

设一數列${\displaystyle \{x_{n}\},\ x_{n}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ L\in \mathbb {R} }$ ，若对于任意的正实数${\displaystyle \epsilon }$ ，存在自然数${\displaystyle N}$ ，使得對所有${\displaystyle n>N}$ ，有

$${\displaystyle \left|x_{n}-L\right|<\epsilon }$$

 

用符号来表示即

$${\displaystyle \forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N,\ |x_{n}-L|<\epsilon }$$

 

则称数列${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 收敛于${\displaystyle L}$ ，记作

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$$

 

收斂數列

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質

定理1（唯一性）

若數列${\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}$ 的極限存在，則極限是唯一的。^[1]:29

证明

設數列${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有兩個不相等的極限值${\displaystyle a,\ b}$ ,則對任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ ,存在${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，使得 ${\displaystyle m,n>N}$  時，恆有 ${\displaystyle |x_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}},\quad |x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}}$  ，則接下來考慮 :

$${\displaystyle |a-b|=|(a-x_{n})-(b-x_{n})|\leq |a-x_{n}|+|b-x_{n}|<\epsilon }$$

 

因此${\displaystyle a=b}$ ，故極限唯一。^[1]:29

定理2（有界性）

若數列${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有極限，則${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有界，即 ${\displaystyle \exists M>0,\forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M}$  。

^[1]:29-30

證明

因為 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$ ，所以對於${\displaystyle \varepsilon =1}$ ，${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} }$ ，使得 ${\displaystyle \forall n>N,|x_{n}-L|<\varepsilon =1}$ 

從而有 ${\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$ 

令 ${\displaystyle M=\max(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{N}|,\ 1+|L|)}$ 

於是 ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M}$ 

即${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有界。

注意有界數列不一定有極限，如數列 ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots }$  是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

我們也可以根據定理二來作推論，如果一個數列無界，則知道這個數列一定發散。^[1]:30

定理3（保序性）

若${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$ 

且${\displaystyle a>b}$ ，則^:30 ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,x_{n}>y_{n}}$ 

^[1]

證明：

已知

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$$

 

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$$

 

且${\displaystyle a>b}$ 。取

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0}$$

 

由極限定義知：${\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{1}}$ ，有

$${\displaystyle |x_{n}-a|<{\frac {a-b}{2}}}$$

 

從而

$${\displaystyle x_{n}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$$

 

${\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{2}}$ ，有

$${\displaystyle |y_{n}-b|<{\frac {a-b}{2}}}$$

 

从而

$${\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$$

 

所以當${\displaystyle n>N=\max(N_{1},\ N_{2})}$ 時，有

$${\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}}$$

 

即^[1]:30-31

$${\displaystyle x_{n}>y_{n}}$$

 

數列的四則運算

設${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ ，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$ ，則

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b}$ ；
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b}$ ；
3. 若${\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0}$ ,則${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}}$ .

柯西數列

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参考文献列表

1. 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5.  |year=与|date=不匹配 (帮助); 请检查|date=中的日期值 (帮助)

參看

• 级数
• 函数极限