格羅莫夫雙曲空間

數學上，設${\displaystyle \delta \geq 0}$為一常數，則一個度量空間${\displaystyle X}$是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，簡稱δ-雙曲空間，如果${\displaystyle X}$中任意四點${\displaystyle p,x,y,z}$都符合不等式

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta }$

其中${\displaystyle (x,y)_{p}}$是${\displaystyle x,y}$對基點${\displaystyle p}$的格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，因為不須用到測地線，故可以用於一般的度量空間。

一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數${\displaystyle \delta \geq 0}$，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一邊上任何一點，距離另外兩邊其中一邊少於δ。

以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件^[1]。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。^[1]

例子

• 樹是0-雙曲空間，因為其上任何三角形都是退化的。
• 有限直徑的度量空間都是雙曲空間。
• 設${\displaystyle X,Y}$ 為測地度量空間，${\displaystyle f:X\to Y}$ 是一個擬等距映射，如果${\displaystyle Y}$ 是雙曲空間，那麼${\displaystyle X}$ 也是雙曲空間。
• 若${\displaystyle X}$ 是負曲率的緊緻黎曼流形，那麼其萬有覆疊空間${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ 是雙曲空間，而${\displaystyle X}$ 的基本群${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 賦予字度量後可以擬等距映射到${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ （施瓦茨－米爾諾引理），所以也是雙曲空間。${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 因此是雙曲群。

理想邊界

設X是一個格羅莫夫雙曲空間，${\displaystyle (x_{i})}$ 為X中一個序列。如果

當${\displaystyle i,j\to \infty }$ 時，${\displaystyle (x_{i},x_{j})_{p}\to \infty }$ ，

稱${\displaystyle (x_{i})}$ 收斂於無窮。其中p是X中某個定點，${\displaystyle (x_{i},x_{j})_{p}}$ 是${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ 對基點p的格羅莫夫積。

對收斂於無窮的序列${\displaystyle (x_{i})}$ 定義一個等價關係如下：${\displaystyle (x_{i})\sim (y_{i})}$ ，如果

當${\displaystyle i,j\to \infty }$ 時，${\displaystyle (x_{i},y_{j})_{p}\to \infty }$ 。

由這些等價類構成的集合稱為X的理想邊界${\displaystyle \partial X}$ 。

注意上述條件都不依賴於基點p，因為格羅莫夫積對p是1-利普希茨連續的，即是若將p換作另一點q，則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值，與以p為基點時的值，相差不超過p和q的距離。

若序列${\displaystyle (x_{i})}$ 在等價類${\displaystyle a\in \partial X}$ 內，那麼稱${\displaystyle x_{i}\to a}$ 。這樣就在${\displaystyle X\cup \partial X}$ 上定義了一個拓撲，使得X在${\displaystyle X\cup \partial X}$ 內是稠密的。

等價定義

設格羅莫夫雙曲空間X是測地和常態的，其理想邊界有等價定義如下：

1. 一個映射${\displaystyle f:[0,\infty )\to X}$ 稱為擬射線，如果f是一個擬等距嵌入。對X中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，若二者的豪斯多夫距離是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。
2. 選取X中任何一點w為基點。對所有從w點出發的測地射線，定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。

參見

• 雙曲群

參考

1. É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.