根基

在数论中，将正整数 n 的根基（英文：radical）定义为 n 的所有素因数（质因数）的积：

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

整数的根运算对简化abc猜想的表述起到重要作用。^[1]

例子

在不与开方运算里的“根（root）”的概念混淆的情况下，也常简称“根”。例如我们有

$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

 

所以504的根计算如下

$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

 

根数列

所有正整数的根组成如下数列：

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... （OEIS數列A007947）.

性質

• ${\displaystyle rad(n)}$ 是積性函數。
• 對於任意整數${\displaystyle n}$ 而言，${\displaystyle rad(n)}$ 是其最大的無平方因子數因數，故${\displaystyle rad(n)}$ 又稱${\displaystyle n}$ 的無平方核心（square-free kernel）。^[2]截至目前為止，並無在多項式時間內計算${\displaystyle n}$ 的無平方部分的算法。^[3]
• ${\displaystyle rad(n)}$ 可推廣為${\displaystyle n}$ 最大的無${\displaystyle t}$ 次方因子數因數${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$ ，而${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$ 是一個有如下定義的積性函數：
  • $${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

     
  • ${\displaystyle t=3}$ 及${\displaystyle t=4}$ 的狀況分別由A007948和A058035列舉。
• 根基的表達式出現於abc猜想中，，而這猜想表示說，對於任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，都有一個${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ，使得對於任意滿足${\displaystyle a+b=c}$ 且互質的三元數組${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 而言，都有以下的關係：^[1]
  • $${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

     
• 對於任意整數${\displaystyle n}$ 而言，有限環${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 的所有幂零元都是${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$ 的倍數。

扩展阅读

• 理想的根

参考资料

1. Gowers, Timothy. V.1 The ABC Conjecture. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008: 681 [2020-04-08]. （原始内容于2021-12-23）. 
2. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A007947. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
3. Adleman, Leonard M.; McCurley, Kevin S. Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic Number Theory: First International Symposium, ANTS-I Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 877. Springer. : 291–322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877  . MR 1322733. doi:10.1007/3-540-58691-1_70.