abc猜想

abc猜想（英語：abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特莱及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。（Goldfeld 1996）

內容

對正整數n，${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$ 表示${\displaystyle n}$ 的質因數的積，稱為n的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如：

${\displaystyle a=2}$ , ${\displaystyle b=7}$ , ${\displaystyle c=9}$ ：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=42>c}$ 。

${\displaystyle a=9}$ , ${\displaystyle b=16}$ , ${\displaystyle c=25}$ ：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30>c}$ 。

但是也有反例，例如：

${\displaystyle a=3}$ , ${\displaystyle b=125}$ , ${\displaystyle c=128}$ ：因為${\displaystyle 125=5^{3}}$ ，${\displaystyle 128=2^{7}}$ ，故此${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30<c}$ 。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }}$ 

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，存在常數${\displaystyle C_{\varepsilon }>0}$ ，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：

${\displaystyle c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },}$ 

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$ 

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想（三）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle q(a,b,c)>1+\epsilon }$ 

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

${\displaystyle a_{n}=3^{2^{n}}-1}$ , ${\displaystyle b_{n}=1}$ , ${\displaystyle c_{n}=3^{2^{n}}}$ 

這三個正整數互質，且有${\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}}$ 。注意到${\displaystyle a_{n}}$ 可被${\displaystyle 2^{n+2}}$ 整除，因此有

${\displaystyle \operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}}$ :

因此

${\displaystyle c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})}$ 

當n趨向無限大時，${\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}}$ 也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果

如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

• Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）
• 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） （Granville 2002）
• Mordell猜想（英语：Mordell conjecture）（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）（Elkies 1991）
• Erdős–Woods猜想（英语：Erdős–Woods conjecture），除了有限多的反例。（Langevin 1993）
• 存在無限多非維費里希素數（Silverman 1988）
• Marshall Hall猜想（英语：Marshall Hall's conjecture）的弱形式（Nitaj 1996）
• Fermat–Catalan猜想（英语：Fermat–Catalan conjecture）（Pomerance 2008）
• 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χ_d)沒有Siegel零點（英语：Siegel zero）（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）（Granville 2000）
• 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。^[1]
• Tijdeman定理（英语：Tijdeman's theorem）的推廣形式，關於y^m = xⁿ + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Ay^m = Bxⁿ + k的解的個數。
• 等價於Granville–Langevin 猜想^[2][3]
• 等價於修改後的Szpiro猜想（英语：Szpiro's conjecture）（Oesterlé 1988）
• Brocard問題（英语：Brocard's problem）n! + A= k²，對任何給定的整數A，都只有有限個解。（Dąbrowski 1996）

理論結果

abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$  （Stewart & Tijdeman 1986）,

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$  （Stewart & Yu 1991）,

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}}$  （Stewart & Yu 2001）.

上述的上界中，K₁是不依賴a, b, c的常數，而K₂和K₃是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果

2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質。

符合q > 1的三元組分佈^[4]

	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 10^2	6	4	4	2	0	0
c < 10^3	31	17	14	8	3	1
c < 10^4	120	74	50	22	8	3
c < 10^5	418	240	152	51	13	6
c < 10^6	1,268	667	379	102	29	11
c < 10^7	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 10^8	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 10^9	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 10^10	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 10^11	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 10^12	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 10^13	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 10^14	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 10^15	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 10^16	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 10^17	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 10^18	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

截至2014年4月 (2014-04)^[update]，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於2⁶³的所有三元組(a,b,c)。^[5]

已知之中最高品質的三元組^[6]

	q	a	b	c	發現者
1	1.6299	2	3^10·109	23^5	Eric Reyssat
2	1.6260	11^2	3^2·5^6·7^3	2^21·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·29^2·31^8	2^8·3^22·5^4	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	5^11·13^2	2^8·3^8·17^3	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·3^7	5^4·7	Benne de Weger

歷史

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ 用${\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)}$ 取代，在此${\displaystyle \omega }$ 是${\displaystyle a,b,c}$ 的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。^[7]

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎^[8][9][10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。^[11]当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果^[12]。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，當中很多也是打字错误^[13]。望月新一在網上公開了2013年^[14]以及2014年^[15]的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix（英语：Jakob Stix）指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。^[16]望月認為二者的批評存在“某種根本上的誤解”。^[17]

参考文献

引用

1. (PDF). [2014-09-29]. （原始内容 (PDF)存档于2009-02-05）. 
2. Mollin (2009)
3. Mollin (2010) p.297
4. , RekenMeeMetABC.nl, [October 3, 2012], （原始内容存档于2008年12月22日）  （荷兰文）.
5. , ABC@Home, [April 30, 2014], （原始内容存档于2014年5月15日） 
6. . Reken mee met ABC. 2010-11-07 [2014-10-28]. （原始内容存档于2014-10-25）. 
7. "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Woit, Peter, Proof of the abc Conjecture?, Not Even Wrong, May 26, 2007 [2014-10-28], （原始内容于2014-10-28） .
8. Mochizuki, Shinichi. (PDF). Working Paper. August 2012 [2012-09-20]. （原始内容 (PDF)存档于2016-12-28）. 
9. Ball, Phillip, Proof claimed for deep connection between primes, Nature, 10 September 2012 [2012-09-12], （原始内容于2012-09-12） .
10. Cipra, Barry, , Science, September 12, 2012 [2012年9月20日], （原始内容存档于2012年9月16日） .
11. Proof claimed for deep connection between primes. [2012-09-12]. （原始内容于2012-09-12）. 
12. Kevin Hartnett. An ABC proof too tough even for mathematicians. Boston Globe. 3 November 2012 [2013-03-30]. （原始内容于2013-03-26）. 
13. 宇宙几何学家望月新一与ABC猜想 （故事续集）. [2013-06-15]. （原始内容于2014-08-22）. 
14. On the verification of the inter-universal Teichmüller theory: a progress report (as of December 2013) (PDF). [2014-09-29]. （原始内容 (PDF)于2014-09-13）. 
15. 存档副本 (PDF). [2015-01-17]. （原始内容 (PDF)于2015-01-22）. 
16. 望月新一的 ABC 猜想证明被认为存在无法修复的漏洞. www.solidot.org. [2018-10-10]. （原始内容于2018-10-11）. 
17. ABC猜想证明或有误 黎曼假设或被证明. www.solidot.org. [2018-10-10]. （原始内容于2018-10-11）. 

来源

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外部連結

• ABC@home（页面存档备份，存于互联网档案馆） 分布式计算项目ABC@Home.
• Easy as ABC（页面存档备份，存于互联网档案馆）: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• 埃里克·韦斯坦因. abc Conjecture. MathWorld. 
• Abderrahmane Nitaj's
• Bart de Smit's ABC Triples webpage（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The amazing ABC conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• by Noam D. Elkies
• Questions about Number（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆） on MathOverflow
• ABC Conjecture（页面存档备份，存于互联网档案馆） Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.