在代數幾何 裡，有理曲面 （rational surface）是指一個雙有理等價 於投影平面 的曲面；換句話說，即為一個二維有理簇 。有理曲面是複曲面的十餘種恩里克斯-小平分類中最簡單的一類，且是第一個被研究的曲面。
結構 每個非奇異曲面均可透過重復拉開 最小有理曲面而取得。最小有理曲面可為投影平面，或希策布魯赫平面 Σr r = 0 或 r ≥ 2。
不變量 ：有理曲面的正則虧格均為0，其基本群 均是平凡的。
霍奇鑽石：
其中，n 等於 0 時為投影平面 ，等於 1 時為希策布魯赫曲面，大於 1 時則為其他有理曲面。
除了希策布魯赫曲面 Σ2m 為偶么模格 II1,1 之外，皮卡群均為奇么模格 I1,n 。
卡斯特爾諾沃定理 吉多·卡斯特爾諾沃證明，任一複曲面，若使得 q 及 P 2 （不規則點及第二正則虧格）均消失，則該曲面為有理曲面。該定理被用於恩里克斯-小平分類中，以識別有理曲面。扎里斯基於1958年證明，卡斯特爾諾沃定理在特徵為正的體上亦成立[1]
卡斯特爾諾沃定理也意指任一單有理複曲面都是有理曲面，因為若一複曲面為單有理曲面，則其不規則點與正則虧格會小於有理曲面的不規則點與正則虧格，因此均為 0，所以該曲面為有理曲面。大多數三維以上的單有理複簇都不是有理曲面。在特徵 p > 0 時，扎里斯基於1958年發現，不是有理曲面，但為單有理曲面（扎里斯基曲面 ）之例子[1]
曾有一段時間不知道 q 及 P 1 均消失的複曲面是否均為有理曲面，直到費德瑞格·恩里克斯找到一個反例（稱為恩里克斯曲面）為止。
有理曲面的例子 博爾迪加曲面：投影平面於 P 4 之6次嵌入。 沙德烈曲面 科布爾曲面 立方曲面：非奇異立方曲面同構於6個點拉開的投影平面，且為法諾曲面。有名的例子包括費馬立方、凱萊立方曲面及克萊布希對角曲面。 法諾曲面 Enneper曲面 希策布魯赫曲面 Σn 兩個投影線的積 P 1 ×P 1 為希策布魯赫曲面 Σ0 。該曲面是唯一具有兩種不同直紋之曲面。 投影平面 塞格雷曲面：兩個二次曲面的相交，同構於5個點拉開的投影平面。 羅馬曲面：在 P 4 內，具奇異點，且雙有理等價於投影平面之曲面。 White surfaces, a generalization of Bordiga surfaces. 白曲面，博爾迪加曲面的廣義化。 維羅納曲面：投影平面於 P 5 之嵌入。
另見
參考資料 ^ 1.0 1.1 Zariski, Oscar , On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 of an algebraic surface, Illinois Journal of Mathematics, 1958, 2 : 303–315, ISSN 0019-2082 , MR 0099990 Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 4 , Springer-Verlag, Berlin, 2004, ISBN 978-3-540-00832-3MR 2030225 Beauville, Arnaud, Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts 34 2nd, Cambridge University Press , 1996, ISBN 978-0-521-49510-3MR 1406314
有理曲面, 在代數幾何裡, rational, surface, 是指一個雙有理等價於投影平面的曲面, 換句話說, 即為一個二維有理簇, 是複曲面的十餘種恩里克斯, 小平分類中最簡單的一類, 且是第一個被研究的曲面, 目录, 結構, 卡斯特爾諾沃定理, 的例子, 另見, 參考資料結構, 编辑每個非奇異曲面均可透過重復拉開最小而取得, 最小可為投影平面, 或希策布魯赫平面, 其中, 不變量, 的正則虧格均為0, 其基本群均是平凡的, 霍奇鑽石, 10001, n0001其中, 等於, 時為投影平面, 等於, 時為希策. 在代數幾何裡 有理曲面 rational surface 是指一個雙有理等價於投影平面的曲面 換句話說 即為一個二維有理簇 有理曲面是複曲面的十餘種恩里克斯 小平分類中最簡單的一類 且是第一個被研究的曲面 目录 1 結構 2 卡斯特爾諾沃定理 3 有理曲面的例子 4 另見 5 參考資料結構 编辑每個非奇異曲面均可透過重復拉開最小有理曲面而取得 最小有理曲面可為投影平面 或希策布魯赫平面 Sr 其中 r 0 或 r 2 不變量 有理曲面的正則虧格均為0 其基本群均是平凡的 霍奇鑽石 10001 n0001其中 n 等於 0 時為投影平面 等於 1 時為希策布魯赫曲面 大於 1 時則為其他有理曲面 除了希策布魯赫曲面 S2m 為偶么模格 II1 1 之外 皮卡群均為奇么模格 I1 n 卡斯特爾諾沃定理 编辑吉多 卡斯特爾諾沃證明 任一複曲面 若使得 q 及 P2 不規則點及第二正則虧格 均消失 則該曲面為有理曲面 該定理被用於恩里克斯 小平分類中 以識別有理曲面 扎里斯基於1958年證明 卡斯特爾諾沃定理在特徵為正的體上亦成立 1 卡斯特爾諾沃定理也意指任一單有理複曲面都是有理曲面 因為若一複曲面為單有理曲面 則其不規則點與正則虧格會小於有理曲面的不規則點與正則虧格 因此均為 0 所以該曲面為有理曲面 大多數三維以上的單有理複簇都不是有理曲面 在特徵 p gt 0 時 扎里斯基於1958年發現 不是有理曲面 但為單有理曲面 扎里斯基曲面 之例子 1 曾有一段時間不知道 q 及 P1 均消失的複曲面是否均為有理曲面 直到費德瑞格 恩里克斯找到一個反例 稱為恩里克斯曲面 為止 有理曲面的例子 编辑博爾迪加曲面 投影平面於 P4 之6次嵌入 沙德烈曲面 科布爾曲面 立方曲面 非奇異立方曲面同構於6個點拉開的投影平面 且為法諾曲面 有名的例子包括費馬立方 凱萊立方曲面及克萊布希對角曲面 法諾曲面 Enneper曲面 希策布魯赫曲面 Sn 兩個投影線的積 P1 P1 為希策布魯赫曲面 S0 該曲面是唯一具有兩種不同直紋之曲面 投影平面 塞格雷曲面 兩個二次曲面的相交 同構於5個點拉開的投影平面 羅馬曲面 在 P4 內 具奇異點 且雙有理等價於投影平面之曲面 White surfaces a generalization of Bordiga surfaces 白曲面 博爾迪加曲面的廣義化 維羅納曲面 投影平面於 P5 之嵌入 另見 编辑代數曲面列表參考資料 编辑 1 0 1 1 Zariski Oscar On Castelnuovo s criterion of rationality pa P2 0 of an algebraic surface Illinois Journal of Mathematics 1958 2 303 315 ISSN 0019 2082 MR 0099990 Barth Wolf P Hulek Klaus Peters Chris A M Van de Ven Antonius Compact Complex Surfaces Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3 Folge 4 Springer Verlag Berlin 2004 ISBN 978 3 540 00832 3 MR 2030225 Beauville Arnaud Complex algebraic surfaces London Mathematical Society Student Texts 34 2nd Cambridge University Press 1996 ISBN 978 0 521 49510 3 MR 1406314 取自 https zh wikipedia org w index php title 有理曲面 amp oldid 47205957, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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