有理簇

在數學中的代數幾何領域，域 ${\displaystyle K}$ 上的有理簇是一個雙有理等價於射影空間 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$（${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$）的代數簇。有理性僅依賴於其函數域，更明確地說，代數簇 ${\displaystyle X}$ 是有理簇若且唯若 ${\displaystyle K(X)\simeq K(T_{1},\ldots ,T_{n})\;(n\in \mathbb {N} )}$，其中 ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ 是獨立的變元。

古典結果

Lüroth 定理是關於有理簇的基本結論，它斷言：對於有理函數域 ${\displaystyle K(T)}$  的子域 ${\displaystyle L}$ ，若次數 ${\displaystyle [K(T):L]}$  有限，而 ${\displaystyle K}$  代數閉，則 ${\displaystyle L}$  也是個有理函數域。

翻譯成幾何語言，這相當於說：若對代數閉域 ${\displaystyle K}$  上的代數曲線 ${\displaystyle C}$ ，存在滿態射 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to C}$ （或稱分歧覆蓋），則 ${\displaystyle C}$  是有理簇。

有理簇有一個有用的性質：若 ${\displaystyle K}$  非有限域，${\displaystyle X}$  是 ${\displaystyle K}$ -有理簇，則 ${\displaystyle X(K)}$  在 ${\displaystyle X({\bar {K}})}$  中稠密。

單有理簇

能由有理簇覆蓋的代數簇稱為單有理簇，用域論的語言來說，即是有理函數域 ${\displaystyle K(T_{1},\ldots ,T_{n})}$  的子域 ${\displaystyle L}$ ，使得 ${\displaystyle [K(T_{1},\ldots ,T_{n}):L]}$  有限。凡有理簇皆為單有理簇；在一維的情形，Lüroth 定理斷言單一維的有理簇皆是有理簇。

對於複代數曲面，同樣可由 Castelnuovo 定理導出單有理曲面皆為有理簇。但是在特徵 ${\displaystyle p>0}$  時存在反例。在三維情形， Clemens 與 Griffiths 找出了反例。

例子

• 代數群理論中常出現相關的結構；例如約化群皆為單有理簇，約化群對拋物子群的商是有理簇。

文獻

• Noether, Emmy, Rationale Funkionenkorper, J. Ber. d. DMV, 1913, 22: 316–319 .
• Noether, Emmy, Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe, Mathematische Annalen, 1918, 78: 221–229, doi:10.1007/BF01457099 .
• Swan, R. G., Invariant rational functions and a problem of Steenrod, Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 148–158, doi:10.1007/BF01389798 
• Martinet, J., Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);, Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364--381, Lecture Notes in Mathematics 180, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1971, MR0272580