截面曲率, 在黎曼几何中, 是描述黎曼流形的曲率的一种方式, displaystyle, sigma, 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面, displaystyle, sigma, 它就定义为该截面, 考慮在, 点以平面, displaystyle, sigma, 作为切平面的曲面, textstyle, 這曲面是收集流形中某包含, displaystyle, 的鄰域內從, 点出發的測地線且這測地線在, displaystyle, 點的切向量屬於截面, displaystyle, sigma, 換句話說就是, t. 在黎曼几何中 截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式 截面曲率K s p displaystyle K sigma p 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面 s p displaystyle sigma p 它就定义为该截面 考慮在 p 点以平面 s p displaystyle sigma p 作为切平面的曲面 S p textstyle S p 這曲面是收集流形中某包含 p displaystyle p 的鄰域內從 p 点出發的測地線且這測地線在 p displaystyle p 點的切向量屬於截面 s p displaystyle sigma p 換句話說就是 S p exp p U textstyle S p exp p U 其中 U s p textstyle U subseteq sigma p 是 s p textstyle sigma p 里包含原點的鄰域 而截面曲率 K s p displaystyle K sigma p 就是曲面 S p displaystyle S p 在 p displaystyle p 點的高斯曲率 形式上 截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数 截面曲率完全决定了曲率张量 是非常有用的几何概念 目录 1 定义 2 常截面曲率流形 3 性质 4 参看定义 编辑设 M 为黎曼流形 s 为 M 上 p 点处切空间中的二维平面 u 和 v 为 s 中两个线性无关的向量 则关于 s 的截面曲率定义为 K s R u v v u u 2 v 2 u v 2 displaystyle K sigma langle R u v v u rangle over u 2 v 2 langle u v rangle 2 其中 R 是 M 的黎曼曲率张量 常截面曲率流形 编辑常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型 它们称为空间形式 通过缩放度量 它们有三种情况 负曲率 1 双曲几何 零曲率 欧几里得几何 正曲率 1 椭圆几何三类几何的模型流形分别是双曲空间 欧几里得空间和单位球面 它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形 所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商 性质 编辑完备黎曼空间有非负的截面曲率 当且仅当函数f p x d i s t 2 p x displaystyle f p x dist 2 p x 对于所有点p是一个1 凹函数 一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率 当且仅当函数f p x d i s t 2 p x displaystyle f p x dist 2 p x 是1 凸函数 参看 编辑黎曼曲率张量 黎曼流形的曲率 曲率 取自 https zh wikipedia org w index php title 截面曲率 amp oldid 39894129, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,