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彈性多面體

行進 27, 2023

彈性多面體（或譯柔性多面體[1]:27）是沒有固定邊界的多面體，可以不改變面的形狀、不折斷或彎曲任何面或邊，而改變其形狀。根據柯西剛性定理，在三維以及更高維度的空間中，這種多面體不能是凸的。

史特芬十四面體是目前已知結構最簡單的非面自相交的彈性多面體

最早發現的彈性多面體為布里卡爾八面體，於1897年由拉烏爾·布里卡爾（英语：Raoul Bricard）發現[2]。其與正八面體同構，但存在自相交面，換句話說，其是一種底面為不固定形狀之反平行四邊形的雙四角錐[3]。在空間中，不自相交的彈性多面體的例子最早由羅伯特·康奈利（英语：Robert Connelly）於1977年發現，稱為康奈利形狀[4]。克勞斯·史特芬（德语：Klaus Steffen）也提出了一個彈性多面體，稱為史特芬十四面體，是目前已知結構最簡單的非面自相交的彈性多面體[5]，並且是基於布里卡爾八面體而產生的多面體。[6]

風箱猜想

在1970年代後期羅伯特·康奈利（英语：Robert Connelly）和丹尼斯·蘇利文提出了风箱猜想，認為彈性多面體在改變形狀的過程體積會維持不變。後來，伊扎德·薩比托夫（俄语：Сабитов, Иджад Хакович）以消去理論（英语：Elimination theory）證明，與球同胚的多面體符合此猜想[7]。再後來，康奈利、薩比托夫和安克·沃爾茲（Anke Walz）證明了具有可定向二維表面的任何多面體都能滿足此猜想。[8]該證明過程將皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡提出的四面體體積公式[9]推廣為任意多面體的體積公式。該體積公式表明，多面體的體積必為某個多項式的根，而該多項式的係數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變，因此體積必須保持在多項式的有限個根之一，而不會連續變化。[10]

切割全等

康奈利（英语：Robert Connelly）推測彈性多面體的登不變量（英语：Dehn invariant）在形變過程皆會保持不變。這被稱為強風箱猜想，在2018年獲證後又稱為強風箱定理。[11]由於只要是同一種彈性多面體，不論其任一形變形式，體積與登不變量（英语：Dehn invariant）始終保持不變，因此不同形變形式之間必定切割全等。這意味著彈性多面體可藉由分解成多個小塊，重組成同一種彈性多面體的另一個形變模式。彈性多面體的平均曲率（定義為邊長與外二面角的乘積之和）是登不變量（英语：Dehn invariant）的函數，且這個不變量會在彈性多面體形變時保持不變。[12]

非剛性多面體

剛性多面體是與彈性多面體多面體相對的概念，即多面體的所有面形狀皆固定的情況下僅能決定唯一邊界，不具備可活動性。而非剛性多面體多面體不一定是彈性多面體，部分多面體在邊長不變下允許面的形狀可些微改變（例如只架構多面體骨架的模型），因此其整體形狀是可變的，例如耶森二十面體。這類多面體有時被稱為「可活動的多面體」（shaky polyhedron）[13][14]。

參見

參考文獻

  1. ^ Ian Stewart; 张云（译）. 数学万花筒2：五彩缤纷的数学问题及知识. 人民邮电出版社. ISBN 9787115264473. 
  2. ^ Bricard, R., , J. Math. Pures Appl., 1897, 5 (3): 113–148 [2008-07-27], （原始内容存档于2012-02-16） 
  3. ^ Gaifullin, Alexander A. Flexible polyhedra and their volumes. arXiv preprint arXiv:1605.09316. 2016. 
  4. ^ Connelly, Robert, A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1977, 47 (47): 333–338 [2021-09-10], ISSN 1618-1913, MR 0488071, doi:10.1007/BF02684342, （原始内容于2021-01-29） 
  5. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 .
  6. ^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1–2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989  , doi:10.1007/s00022-011-0061-7 
  7. ^ Sabitov, I. Kh., On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron, Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1995, 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316, MR 1339277 
  8. ^ Connelly, Robert; Sabitov, I.; Walz, Anke, The bellows conjecture, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 1997, 38 (1): 1–10 [2021-09-10], ISSN 0138-4821, MR 1447981, （原始内容于2021-07-09） 
  9. ^ Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant. MathPages.com. [2021-09-10]. （原始内容于2013-10-06）. 
  10. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 
  11. ^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068 
  12. ^ Alexander, Ralph, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Transactions of the American Mathematical Society, 1985, 288 (2): 661–678, JSTOR 1999957, MR 0776397, doi:10.2307/1999957   
  13. ^ Goldberg, Michael. Unstable polyhedral structures. Mathematics Magazine. 1978, 51 (3): 165–170. JSTOR 2689996. MR 0498579. doi:10.2307/2689996. 
  14. ^ Weisstein, Eric W. (编). Shaky Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 

外部連結

行進 27, 2023
彈性多面體, 或譯柔性多面體, 是沒有固定邊界的多面體, 可以不改變面的形狀, 不折斷或彎曲任何面或邊, 而改變其形狀, 根據柯西剛性定理, 在三維以及更高維度的空間中, 這種多面體不能是凸的, 史特芬十四面體是目前已知結構最簡單的非面自相交的, 最早發現的為布里卡爾八面體, 於1897年由拉烏爾, 布里卡爾, 英语, raoul, bricard, 發現, 其與正八面體同構, 但存在自相交面, 換句話說, 其是一種底面為不固定形狀之反平行四邊形的雙四角錐, 在r, displaystyle, mathbb, 空間. 彈性多面體 或譯柔性多面體 1 27 是沒有固定邊界的多面體 可以不改變面的形狀 不折斷或彎曲任何面或邊 而改變其形狀 根據柯西剛性定理 在三維以及更高維度的空間中 這種多面體不能是凸的 史特芬十四面體是目前已知結構最簡單的非面自相交的彈性多面體 最早發現的彈性多面體為布里卡爾八面體 於1897年由拉烏爾 布里卡爾 英语 Raoul Bricard 發現 2 其與正八面體同構 但存在自相交面 換句話說 其是一種底面為不固定形狀之反平行四邊形的雙四角錐 3 在R 3 displaystyle mathbb R 3 空間中 不自相交的彈性多面體的例子最早由羅伯特 康奈利 英语 Robert Connelly 於1977年發現 稱為康奈利形狀 4 克勞斯 史特芬 德语 Klaus Steffen 也提出了一個彈性多面體 稱為史特芬十四面體 是目前已知結構最簡單的非面自相交的彈性多面體 5 並且是基於布里卡爾八面體而產生的多面體 6 目录 1 風箱猜想 2 切割全等 3 非剛性多面體 4 參見 5 參考文獻 6 外部連結風箱猜想 编辑在1970年代後期羅伯特 康奈利 英语 Robert Connelly 和丹尼斯 蘇利文提出了风箱猜想 認為彈性多面體在改變形狀的過程體積會維持不變 後來 伊扎德 薩比托夫 俄语 Sabitov Idzhad Hakovich 以消去理論 英语 Elimination theory 證明 與球同胚的多面體符合此猜想 7 再後來 康奈利 薩比托夫和安克 沃爾茲 Anke Walz 證明了具有可定向二維表面的任何多面體都能滿足此猜想 8 該證明過程將皮耶罗 德拉 弗朗切斯卡提出的四面體體積公式 9 推廣為任意多面體的體積公式 該體積公式表明 多面體的體積必為某個多項式的根 而該多項式的係數僅取決於多面體的邊長 由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變 因此體積必須保持在多項式的有限個根之一 而不會連續變化 10 切割全等 编辑康奈利 英语 Robert Connelly 推測彈性多面體的登不變量 英语 Dehn invariant 在形變過程皆會保持不變 這被稱為強風箱猜想 在2018年獲證後又稱為強風箱定理 11 由於只要是同一種彈性多面體 不論其任一形變形式 體積與登不變量 英语 Dehn invariant 始終保持不變 因此不同形變形式之間必定切割全等 這意味著彈性多面體可藉由分解成多個小塊 重組成同一種彈性多面體的另一個形變模式 彈性多面體的平均曲率 定義為邊長與外二面角的乘積之和 是登不變量 英语 Dehn invariant 的函數 且這個不變量會在彈性多面體形變時保持不變 12 非剛性多面體 编辑剛性多面體是與彈性多面體多面體相對的概念 即多面體的所有面形狀皆固定的情況下僅能決定唯一邊界 不具備可活動性 而非剛性多面體多面體不一定是彈性多面體 部分多面體在邊長不變下允許面的形狀可些微改變 例如只架構多面體骨架的模型 因此其整體形狀是可變的 例如耶森二十面體 這類多面體有時被稱為 可活動的多面體 shaky polyhedron 13 14 參見 编辑希爾伯特第三問題參考文獻 编辑 Ian Stewart 张云 译 数学万花筒2 五彩缤纷的数学问题及知识 人民邮电出版社 ISBN 9787115264473 Bricard R Memoire sur la theorie de l octaedre articule J Math Pures Appl 1897 5 3 113 148 2008 07 27 原始内容存档于2012 02 16 Gaifullin Alexander A Flexible polyhedra and their volumes arXiv preprint arXiv 1605 09316 2016 Connelly Robert A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra Publications Mathematiques de l IHES 1977 47 47 333 338 2021 09 10 ISSN 1618 1913 MR 0488071 doi 10 1007 BF02684342 原始内容存档于2021 01 29 Demaine Erik D O Rourke Joseph 23 2 Flexible polyhedra Geometric Folding Algorithms Linkages origami polyhedra Cambridge University Press Cambridge 345 348 2007 ISBN 978 0 521 85757 4 MR 2354878 doi 10 1017 CBO9780511735172 Alexandrov Victor The Dehn invariants of the Bricard octahedra Journal of Geometry 2010 99 1 2 1 13 MR 2823098 arXiv 0901 2989 doi 10 1007 s00022 011 0061 7 Sabitov I Kh On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron Rossiĭskaya Akademiya Nauk Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo Uspekhi Matematicheskikh Nauk 1995 50 2 223 224 ISSN 0042 1316 MR 1339277 Connelly Robert Sabitov I Walz Anke The bellows conjecture Beitrage zur Algebra und Geometrie 1997 38 1 1 10 2021 09 10 ISSN 0138 4821 MR 1447981 原始内容存档于2021 07 09 Simplex Volumes and the Cayley Menger Determinant MathPages com 2021 09 10 原始内容存档于2013 10 06 Demaine Erik D O Rourke Joseph 23 2 Flexible polyhedra Geometric Folding Algorithms Linkages origami polyhedra Cambridge University Press Cambridge 345 348 2007 ISBN 978 0 521 85757 4 MR 2354878 doi 10 1017 CBO9780511735172 Gaĭfullin A A Ignashchenko L S Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V A Steklova 2018 302 Topologiya i Fizika 143 160 ISBN 5 7846 0147 4 MR 3894642 doi 10 1134 S0371968518030068 Alexander Ralph Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces I Transactions of the American Mathematical Society 1985 288 2 661 678 JSTOR 1999957 MR 0776397 doi 10 2307 1999957 Goldberg Michael Unstable polyhedral structures Mathematics Magazine 1978 51 3 165 170 JSTOR 2689996 MR 0498579 doi 10 2307 2689996 Weisstein Eric W 编 Shaky Polyhedron at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Flexible Polyhedron MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 彈性多面體 amp oldid 75224164, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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