庫默爾定理

在數學裡，庫默爾定理能計算给出的二项式的系數的p-adic賦值（英语：P-adic valuation），即${\displaystyle {\binom {n}{m}}}$含p的幂次。 本定理以恩斯特·庫默爾命名。

定理

庫默爾定理指出，給定整数 ${\displaystyle n\geq m\geq 0}$ 和一个質數 ${\displaystyle p}$ , p-adic賦值 ${\displaystyle \nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)}$  等於以 ${\displaystyle p}$  為基底時${\displaystyle m}$ 加 ${\displaystyle n-m}$ 的進位次數。

例子

要计算 ${\displaystyle \nu _{2}\left({\tbinom {10}{3}}\right)}$ ，写出 ${\displaystyle m=3}$  和 ${\displaystyle n-m=7}$  的二进制表示 ${\displaystyle 3=11_{2}}$  和 ${\displaystyle 7=111_{2}}$ 。进行二进制加法 ${\displaystyle 11_{2}+111_{2}=1010_{2}}$  需要进位三次。 故 ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$  中 2 的次数是 3。

求具有下述性质的所有整数${\displaystyle k}$ ：存在无穷多个正整数${\displaystyle n}$ ，使得${\displaystyle n+k}$ 不整除 ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ 。^[1]

解 ∵ ${\displaystyle {\binom {2n}{n-1}}={\frac {2n(2n-1)\cdots (n+2)}{(n-1)!}}={\frac {n}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$ ,

∴ ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n-1}}}$  是整数，

∴ ${\displaystyle n+1\left|{\binom {2n}{n}}\right.}$  对任意正整数${\displaystyle n}$ 成立，从而 1 不满足要求.

当${\displaystyle k\leq 0}$ 时，取${\displaystyle n=p-k}$ （${\displaystyle p}$ 为奇素数，${\displaystyle p>-2k}$ ），满足要求.

当${\displaystyle k\geq 2}$ 时，取${\displaystyle k}$ 的一个素因子${\displaystyle p}$ ，选取正整数${\displaystyle m}$ 使得 ${\displaystyle p^{m}>k}$ ，令 ${\displaystyle n=p^{m}-k}$ ，我们证明： ${\displaystyle n+k}$  不整除 ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ .

${\displaystyle 2n=n+n}$  最多进位${\displaystyle m-1}$ 次. 由库默尔定理，${\displaystyle \nu _{p}\left({\binom {2n}{n}}\right)\leq m-1}$ ，

∵ ${\displaystyle n+k=p^{m}}$ ，∴ ${\displaystyle n+k}$ 不整除${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ .

从而存在无穷多个${\displaystyle n}$ 满足要求.

综上，${\displaystyle k}$ 是任意不为1的整数.

證明

將组合数${\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}}$ 寫成${\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}={\tfrac {(m+n)!}{m!n!}}}$  根据勒让德定理，它所含${\displaystyle p}$ 的幂次数为

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]=\sum _{i=1}^{\infty }\left\{\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]\right\}}$$

 

${\displaystyle \left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]}$ 等于${\displaystyle n}$ 在${\displaystyle p}$ 进制表示下，截去末${\displaystyle i}$ 位得到的数，因此

$${\displaystyle \left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]={\begin{cases}1&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 有 进 位}}\\0&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 不 进 位}}\end{cases}}}$$

 

最后对${\displaystyle i}$ 求和，就是${\displaystyle m+n}$ 在${\displaystyle p}$ 进制下的进位次数。

多项系数的一般化

庫默爾定理，可以推广到 多项系数 ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}:={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$  ：

將 ${\displaystyle n}$  以 ${\displaystyle p}$ 為基底寫做 ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$ 和定义 ${\displaystyle S_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$  是 ${\displaystyle p}$  基底的数位和。 則

${\displaystyle \nu _{p}\left({\dbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})-S_{p}(n)\right)}$ .

參見

• 卢卡斯定理

参考文献

• Kummer, Ernst. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93. 

^[2]

1. 刘培杰; 张佳. . d.wanfangdata.com.cn. [2022-03-08]. doi:10.3969/j.issn.1005-6416.2017.09.004. （原始内容存档于2022-06-12）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. 存档副本. [2020-07-31]. （原始内容于2021-04-18）.