卢卡斯定理, 在数论中, 盧卡斯定理, 英語, lucas, theorem, 用于计算二项式系数, displaystyle, tbinom, 被质数, displaystyle, 除的所得的余数, 首次出现在1878年法國數學家爱德华, 卢卡斯, 的论文中, 目录, 公式, 推论, 证明, 组合证明, 基于母函数的证明, 变型和推广, 参考资料, 外部链接公式, 编辑对于非负整数m, displaystyle, nbsp, 和n, displaystyle, nbsp, 和素数p, displaystyle, . 在数论中 盧卡斯定理 英語 Lucas s theorem 用于计算二项式系数 m n displaystyle tbinom m n 被质数 p displaystyle p 除的所得的余数 卢卡斯定理首次出现在1878年法國數學家爱德华 卢卡斯 1 的论文中 目录 1 公式 2 推论 3 证明 3 1 组合证明 3 2 基于母函数的证明 4 变型和推广 5 参考资料 6 外部链接公式 编辑对于非负整数m displaystyle m nbsp 和n displaystyle n nbsp 和素数p displaystyle p nbsp 同余式 m n i 0 k m i n i mod p displaystyle binom m n equiv prod i 0 k binom m i n i pmod p nbsp 成立 其中 m m k p k m k 1 p k 1 m 1 p m 0 displaystyle m m k p k m k 1 p k 1 cdots m 1 p m 0 nbsp 并且 n n k p k n k 1 p k 1 n 1 p n 0 displaystyle n n k p k n k 1 p k 1 cdots n 1 p n 0 nbsp 是m displaystyle m nbsp 和n displaystyle n nbsp 的p displaystyle p nbsp 进制展开 当m lt n displaystyle m lt n nbsp 时 二项式系数 m n 0 displaystyle tbinom m n 0 nbsp 推论 编辑二项式系数 m n displaystyle tbinom m n nbsp 可被素数p displaystyle p nbsp 整除当且仅当在p displaystyle p nbsp 进制表达下n displaystyle n nbsp 的某一位的数值大于m displaystyle m nbsp 对应位的数值 这是 庫默爾定理 的一个特殊情况 证明 编辑卢卡斯定理有多种证明方法 下面首先给出一种组合方法的证明 然后给出了一种基于母函数方法的证明 组合证明 编辑 设M displaystyle M nbsp 为m displaystyle m nbsp 元集 将其划分为m i displaystyle m i nbsp 个长度为p i displaystyle p i nbsp 的循环 然后这些循环中的每一个都可以单独轮换 因此作为循环群C p i displaystyle C p i nbsp 的笛卡尔积的群G displaystyle G nbsp 作用于M displaystyle M nbsp 因此 它也作用于大小为n displaystyle n nbsp 的子集N displaystyle N nbsp 由于G displaystyle G nbsp 中的元素数量是p displaystyle p nbsp 的幂 因此它的任何轨道都是如此 因此 为了计算 m n displaystyle tbinom m n nbsp 模p displaystyle p nbsp 我们只需要考虑这个群作用的不动点 不动点是一些循环的并集 准确地说 可以通过对k i displaystyle k i nbsp 的归纳来证明 N displaystyle N nbsp 必须恰好有n i displaystyle n i nbsp 个长度为p i displaystyle p i nbsp 的循环 因此 N displaystyle N nbsp 的个数正好是 i 0 k m i n i mod p displaystyle prod i 0 k binom m i n i pmod p nbsp 基于母函数的证明 编辑 本证明由Nathan Fine 2 给出 对于素数p displaystyle p nbsp 和n displaystyle n nbsp 满足1 n p 1 displaystyle 1 leq n leq p 1 nbsp 二项式系数 p n p p 1 p n 1 n n 1 1 displaystyle binom p n frac p cdot p 1 cdots p n 1 n cdot n 1 cdots 1 nbsp 可被p displaystyle p nbsp 整除 由此可得 在母函数中 1 X p 1 X p mod p displaystyle 1 X p equiv 1 X p pmod p nbsp 应用数学归纳法可证 对于任意非负整数i displaystyle i nbsp 有 1 X p i 1 X p i mod p displaystyle 1 X p i equiv 1 X p i pmod p nbsp 对于任意非负整数m displaystyle m nbsp 和素数p displaystyle p nbsp 将m displaystyle m nbsp 用p displaystyle p nbsp 进制表示 即m i 0 k m i p i displaystyle m sum i 0 k m i p i nbsp 其中k displaystyle k nbsp 为非负整数 m i displaystyle m i nbsp 为整数且0 m i p 1 displaystyle 0 leq m i leq p 1 nbsp 注意到 n 0 m m n X n 1 X m i 0 k 1 X p i m i i 0 k 1 X p i m i i 0 k n i 0 m i m i n i X n i p i i 0 k n i 0 p 1 m i n i X n i p i n 0 m i 0 k m i n i X n mod p displaystyle begin aligned sum n 0 m binom m n X n amp 1 X m prod i 0 k left 1 X p i right m i amp equiv prod i 0 k left 1 X p i right m i prod i 0 k left sum n i 0 m i binom m i n i X n i p i right amp prod i 0 k left sum n i 0 p 1 binom m i n i X n i p i right sum n 0 m left prod i 0 k binom m i n i right X n pmod p end aligned nbsp 其中n i displaystyle n i nbsp 是n displaystyle n nbsp 的p displaystyle p nbsp 进制表达的第i displaystyle i nbsp 位 此即证明了本定理 变型和推广 编辑二项式系数 m n displaystyle tbinom m n nbsp 中含有质数p displaystyle p nbsp 的幂次为算式n displaystyle n nbsp 和m n displaystyle m n nbsp 在p displaystyle p nbsp 进制下进行相加计算的进位次数 被称为庫默爾定理 Andrew Granville将卢卡斯定理由素数推广到了到素数的幂次 3 参考资料 编辑 Edouard Lucas Theorie des Fonctions Numeriques Simplement Periodiques American Journal of Mathematics 1878 1 2 184 196 JSTOR 2369308 MR 1505161 doi 10 2307 2369308 part 1 Fine Nathan Binomial coefficients modulo a prime American Mathematical Monthly 1947 54 589 592 doi 10 2307 2304500 Andrew Granville Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I Binomial coefficients modulo prime powers PDF Canadian Mathematical Society Conference Proceedings 1997 20 253 275 2016 09 30 MR 1483922 原始内容 PDF 存档于2017 02 02 外部链接 编辑Lucas s Theorem at PlanetMath Alternate Proof of Lucas Theorem 取自 https zh wikipedia org w index php title 卢卡斯定理 amp oldid 78760960, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,