平均数不等式, 或称平均值不等式, 均值不等式, 是数学上的一组不等式, 也是基本不等式的推广, 它是说, displaystyle, ldots, mathbb, rightarrow, dfrac, displaystyle, dfrac, sqrt, prod, dfrac, displaystyle, sqrt, dfrac, displaystyle, 即h, displaystyle, 其中, displaystyle, dfrac, displaystyle, dfrac, dfrac, dfrac,. 平均数不等式 或称平均值不等式 均值不等式 是数学上的一组不等式 也是基本不等式的推广 它是说 x 1 x 2 x n R n i 1 n 1 x i i 1 n x i n i 1 n x i n i 1 n x i 2 n displaystyle x 1 x 2 ldots x n in mathbb R Rightarrow dfrac n displaystyle sum i 1 n dfrac 1 x i leq sqrt n prod i 1 n x i leq dfrac displaystyle sum i 1 n x i n leq sqrt dfrac displaystyle sum i 1 n x i 2 n 即H n G n A n Q n displaystyle H n leq G n leq A n leq Q n 其中 H n n i 1 n 1 x i n 1 x 1 1 x 2 1 x n displaystyle H n dfrac n displaystyle sum i 1 n dfrac 1 x i dfrac n dfrac 1 x 1 dfrac 1 x 2 cdots dfrac 1 x n G n i 1 n x i n x 1 x 2 x n n displaystyle G n sqrt n prod i 1 n x i sqrt n x 1 x 2 cdots x n A n i 1 n x i n x 1 x 2 x n n displaystyle A n dfrac displaystyle sum i 1 n x i n dfrac x 1 x 2 cdots x n n Q n i 1 n x i 2 n x 1 2 x 2 2 x n 2 n displaystyle Q n sqrt dfrac displaystyle sum i 1 n x i 2 n sqrt dfrac x 1 2 x 2 2 cdots x n 2 n 当且仅当 x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 cdots x n 等号成立 即对这些正实数 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数 方均根 简记为 调几算方 n 2 时的情形 编辑第一个不等号 x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 displaystyle left x 1 x 2 right 2 x 1 2 2x 1 x 2 x 2 2 0 displaystyle geq 0 x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 displaystyle left x 1 x 2 right 2 x 1 2 2x 1 x 2 x 2 2 4 x 1 x 2 displaystyle geq 4x 1 x 2 1 displaystyle 1 4 x 1 x 2 x 1 x 2 2 displaystyle geq frac 4x 1 x 2 left x 1 x 2 right 2 1 displaystyle 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 displaystyle geq frac 2 sqrt x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 displaystyle sqrt x 1 x 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 1 x 1 1 x 2 displaystyle geq frac 2x 1 x 2 x 1 x 2 frac 2 frac 1 x 1 frac 1 x 2 第二个不等号 x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 displaystyle left x 1 x 2 right 2 x 1 2 2x 1 x 2 x 2 2 0 displaystyle geq 0 x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 displaystyle left x 1 x 2 right 2 x 1 2 2x 1 x 2 x 2 2 4 x 1 x 2 displaystyle geq 4x 1 x 2 x 1 x 2 2 2 displaystyle left frac x 1 x 2 2 right 2 x 1 x 2 displaystyle geq x 1 x 2 x 1 x 2 2 displaystyle frac x 1 x 2 2 x 1 x 2 displaystyle geq sqrt x 1 x 2 第三个不等号 x 1 x 2 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 4 displaystyle frac x 1 x 2 2 2 frac x 1 2 2x 1 x 2 x 2 2 4 0 displaystyle geq 0 x 1 2 x 2 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 4 displaystyle frac x 1 2 x 2 2 2 frac x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 4 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 4 x 1 x 2 2 4 displaystyle geq frac 2x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 4 frac x 1 x 2 2 4 x 1 2 x 2 2 2 displaystyle sqrt frac x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2 displaystyle geq frac x 1 x 2 2 证明方法 编辑关于均值不等式的证明方法有很多 数学归纳法 第一数学归纳法或反向归纳法 拉格朗日乘数法 琴生不等式法 排序不等式法 柯西不等式法等等 都可以证明均值不等式 在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法 用数学归纳法证明 需要一个辅助结论 引理 设A 0 displaystyle A geq 0 B 0 displaystyle B geq 0 则 A B n A n n A n 1 B displaystyle left A B right n geq A n nA n 1 B 且仅当B 0时取等号 引理的正确性较明显 条件A 0 B 0可以弱化为A 0 A B 0 可以用数学归纳法证明 原题等价于 a 1 a 2 a n n n a 1 a 2 a n displaystyle left frac a 1 a 2 cdots a n n right n geq a 1 a 2 cdots a n 当且仅当a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 cdots a n 时取等号 当n 2时易证 假设当n k时命题成立 即 a 1 a 2 a k k k a 1 a 2 a k displaystyle left frac a 1 a 2 cdots a k k right k geq a 1 a 2 cdots a k 当且仅当a 1 a 2 a k displaystyle a 1 a 2 cdots a k 时取等号 那么当n k 1时 不妨设a k 1 displaystyle a k 1 是a 1 displaystyle a 1 a 2 a k 1 displaystyle a 2 cdots a k 1 中最大者 则k a k 1 a 1 a 2 a k displaystyle ka k 1 geq a 1 a 2 cdots a k 设S a 1 a 2 a k displaystyle S a 1 a 2 cdots a k a 1 a 2 a k 1 k 1 k 1 S k k a k 1 S k k 1 k 1 displaystyle left frac a 1 a 2 cdots a k 1 k 1 right k 1 left frac S k frac ka k 1 S k left k 1 right right k 1 根据引理 S k k a k 1 S k k 1 k 1 S k k 1 k 1 S k k k a k 1 S k k 1 S k k a k 1 a 1 a 2 a k a k 1 displaystyle left frac S k frac ka k 1 S k left k 1 right right k 1 geq left frac S k right k 1 k 1 left frac S k right k frac ka k 1 S k k 1 left frac S k right k a k 1 geq a 1 a 2 cdots a k a k 1 当且仅当k a k 1 S 0 displaystyle ka k 1 S 0 且a 1 a 2 a k displaystyle a 1 a 2 cdots a k 时 即a 1 a 2 a k a k 1 displaystyle a 1 a 2 cdots a k a k 1 时取等号 此外 人教版高中数学教科书 选修4 5 不等式选讲 也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法 1 先运用数学归纳法证明一个引理 若n displaystyle n n displaystyle n 是正整数 个正数a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 a n 的乘积a 1 a 2 a n 1 displaystyle a 1 a 2 a n 1 则它们的和a 1 a 2 a n n displaystyle a 1 a 2 a n geqslant n 当且仅当a 1 a 2 a n 1 displaystyle a 1 a 2 a n 1 时等号成立 此引理证明如下 当n 1 displaystyle n 1 时命题为 若a 1 displaystyle a 1 则a 1 displaystyle a geqslant 1 当且仅当a 1 displaystyle a 1 时等号成立 命题显然成立 假设当n k displaystyle n k 时命题成立 则现在证明当n k 1 displaystyle n k 1 时命题也成立 若这k 1 displaystyle k 1 个数全部是1 即a 1 a 2 a k 1 1 displaystyle a 1 a 2 a k 1 1 则命题显然成立 若这k 1 displaystyle k 1 个数不全是1 则易证明必存在i j displaystyle i neq j 使a i gt 1 a j lt 1 displaystyle a i gt 1 a j lt 1 不妨设a 1 gt 1 a 2 lt 1 displaystyle a 1 gt 1 a 2 lt 1 由归纳假设 因为 a 1 a 2 a 3 a k 1 1 displaystyle a 1 a 2 a 3 a k 1 1 所以a 1 a 2 a 3 a k 1 k displaystyle a 1 a 2 a 3 a k 1 geqslant k 记此式为 式 由a 1 gt 1 a 2 lt 1 displaystyle a 1 gt 1 a 2 lt 1 知a 1 1 gt 0 1 a 2 gt 0 displaystyle a 1 1 gt 0 1 a 2 gt 0 则 a 1 1 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 1 gt 0 displaystyle a 1 1 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 1 gt 0 整理得a 1 a 2 gt 1 a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 gt 1 a 1 a 2 记此式为 式 得a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a k 1 gt k 1 a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a k 1 gt k 1 a 1 a 2 整理得a 1 a 2 a k 1 gt k 1 displaystyle a 1 a 2 a k 1 gt k 1 此时等号不成立 命题成立 综上 由数学归纳法 引理成立 现在为了证明平均值不等式 考虑n displaystyle n 个正数a 1 a 1 a 2 a n n a 2 a 1 a 2 a n n a n a 1 a 2 a n n displaystyle frac a 1 sqrt n a 1 a 2 a n frac a 2 sqrt n a 1 a 2 a n frac a n sqrt n a 1 a 2 a n 它们的积为1 由引理 它们的和a 1 a 1 a 2 a n n a 2 a 1 a 2 a n n a n a 1 a 2 a n n a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n n n displaystyle frac a 1 sqrt n a 1 a 2 a n frac a 2 sqrt n a 1 a 2 a n frac a n sqrt n a 1 a 2 a n frac a 1 a 2 a n sqrt n a 1 a 2 a n geqslant n 当且仅当a 1 a 1 a 2 a n n a 2 a 1 a 2 a n n a n a 1 a 2 a n n displaystyle frac a 1 sqrt n a 1 a 2 a n frac a 2 sqrt n a 1 a 2 a n frac a n sqrt n a 1 a 2 a n 即a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 cdots a n 时等号成立 整理即得 a 1 a 2 a n n a 1 a 2 a n n displaystyle frac a 1 a 2 a n n geqslant sqrt n a 1 a 2 a n 当且仅当a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 cdots a n 时等号成立 于是G n A n displaystyle G n leq A n 得证 利用G n A n displaystyle G n leq A n 易证H n G n displaystyle H n leq G n 考虑n displaystyle n 个正数1 a 1 1 a 2 1 a n displaystyle frac 1 a 1 frac 1 a 2 frac 1 a n 有1 a 1 1 a 2 1 a n n 1 a 1 1 a 2 1 a n n 1 a 1 a 2 a n n displaystyle frac frac 1 a 1 frac 1 a 2 frac 1 a n n geqslant sqrt n frac 1 a 1 cdot frac 1 a 2 cdot cdot frac 1 a n frac 1 sqrt n a 1 a 2 a n 当且仅当1 a 1 1 a 2 1 a n displaystyle frac 1 a 1 frac 1 a 2 frac 1 a n 即a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 cdots a n 时等号成立 两边取倒数整理得n 1 a 1 1 a 2 1 a n a 1 a 2 a n n displaystyle frac n frac 1 a 1 frac 1 a 2 frac 1 a n leqslant sqrt n a 1 a 2 a n 当且仅当a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 cdots a n 时等号成立 即H n G n displaystyle H n leq G n A n Q n displaystyle A n leq Q n 等价于Q n 2 A n 2 0 displaystyle Q n 2 A n 2 geq 0 事实上 Q n 2 A n 2 displaystyle Q n 2 A n 2 等于a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 ldots a n 的方差 通过这个转化可以证出Q n 2 A n 2 0 displaystyle Q n 2 A n 2 geq 0 证明如下 Q n 2 A n 2 Q n 2 2 A n 2 A n 2 a 1 2 a 2 2 a n 2 n 2 a 1 A n 2 a 2 A n 2 a n A n n n A n 2 n displaystyle Q n 2 A n 2 Q n 2 2A n 2 A n 2 frac a 1 2 a 2 2 ldots a n 2 n frac 2a 1 A n 2a 2 A n ldots 2a n A n n frac nA n 2 n a 1 2 2 a 1 A n A n 2 a 2 2 2 a 2 A n A n 2 a n 2 2 a n A n A n 2 n displaystyle frac a 1 2 2a 1 A n A n 2 a 2 2 2a 2 A n A n 2 ldots a n 2 2a n A n A n 2 n a 1 A n 2 a 2 A n 2 a n A n 2 n displaystyle frac a 1 A n 2 a 2 A n 2 ldots a n A n 2 n 0 displaystyle geqslant 0 当且仅当a 1 a 2 a n A n displaystyle a 1 a 2 cdots a n A n 时等号成立 利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式 同时还有柯西归纳法等方法 参见 编辑算术 几何平均值不等式 幂平均不等式 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4 5 不等式选讲 人民教育出版社 2007 52 ISBN 978 7 107 18675 2 取自 https zh wikipedia org w index php title 平均数不等式 amp oldid 73999418, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,