对称双线性形式, 是在向量空间上的, 它们在正交极性和二次曲面的研究中非常重要, 目录, 定义, 矩阵表示, 正交性和奇异性, 正交基, 西尔维斯特惯性定理与惯性指数, 实数情况, 复数情况, 正交极性, 參考文獻定义, 编辑设, 在域, 上的, 维向量空间, 映射, displaystyle, times, rightarrow, rightarrow, nbsp, 是这个空间上的, 如果, displaystyle, quad, forall, nbsp, displaystyle, quad, forall,. 对称双线性形式是在向量空间上的对称双线性形式 它们在正交极性和二次曲面的研究中非常重要 目录 1 定义 2 矩阵表示 3 正交性和奇异性 4 正交基 4 1 西尔维斯特惯性定理与惯性指数 4 2 实数情况 4 3 复数情况 5 正交极性 6 參考文獻定义 编辑设 V 在域 K 上的 n 维向量空间 映射 B V V K u v B u v displaystyle B V times V rightarrow K u v rightarrow B u v nbsp 是这个空间上的对称双线性形式 如果 B u v B v u u v V displaystyle B u v B v u quad forall u v in V nbsp B u v w B u w B v w u v w V displaystyle B u v w B u w B v w quad forall u v w in V nbsp B l v w l B v w l K v w V displaystyle B lambda v w lambda B v w quad forall lambda in K forall v w in V nbsp 最后两个公理只蕴涵在第一个参数中的线性 但是第一个公理直接蕴涵了在第二个参数中的线性 矩阵表示 编辑设 C e 1 e n displaystyle C e 1 ldots e n nbsp 是 V 的基 定义 n n displaystyle n times n nbsp 矩阵 A 通过 A i j B e i e j displaystyle A ij B e i e j nbsp 矩阵 A 是对称的完全由于双线性形式的对称性 如果 n 1 displaystyle n times 1 nbsp 矩阵 x 表示关于这个基的一个向量 v 类似的 y 表示 w 则 B v w displaystyle B v w nbsp 给出为 x T A y y T A x displaystyle x T Ay y T Ax nbsp 假设 C 是 V 的另一个基 有着可逆的 n n displaystyle n times n nbsp 矩阵 S 使得 e 1 e n e 1 e n S displaystyle begin bmatrix e 1 amp cdots amp e n end bmatrix begin bmatrix e 1 amp cdots amp e n end bmatrix S nbsp 现在对称双线性形式的新矩阵表示给出为 A S T A S displaystyle A S T AS nbsp 正交性和奇异性 编辑对称双线性形式总是自反的 定义两个向量 v 和 w 是关于双线性形式 B 是正交的 如果 B v w 0 displaystyle B v w 0 nbsp 由于自反性它等价于 B w v 0 displaystyle B w v 0 nbsp 双线性形式 B 的根是正交于 V 中所有其他向量的向量的集合 你可以轻易查出它是 V 的子空间 在使用关于特定基的矩阵表示 A 的时候 由 x 表示的 v 在根中 当且仅当 A x 0 x T A 0 displaystyle Ax 0 Longleftrightarrow x T A 0 nbsp 矩阵 A 是奇异的 当且仅当根是不平凡的 如果 W 是 V 的子空间 则正交于 W 中所有向量的集合 W displaystyle W perp nbsp 也是子空间 当 B 的根是平凡的时候 W displaystyle W perp nbsp 的维度是 n dim W 正交基 编辑基 C e 1 e n displaystyle C e 1 ldots e n nbsp 关于 B 是正交的 当且仅当 B e i e j 0 i j displaystyle B e i e j 0 forall i neq j nbsp 在域的特征不是2的时候 总存在正交基 这可以通过归纳法证明 基 C 是正交的 当且仅当矩阵表示 A 是对角矩阵 西尔维斯特惯性定理与惯性指数 编辑 一般情况下 西尔维斯特发现的惯性定理声称 在K为有序域的时候 简化后的二次型的矩阵表示中的对角元素等于 0 正或负的数目独立于正交基的选择 后两个数被称为双线性形式的正 负惯性指数 1 实数情况 编辑 当工作于在实数上的空间的时候 可以走的远一点 设 C e 1 e n displaystyle C e 1 ldots e n nbsp 是正交基 我们定义一个新基 C e 1 e n displaystyle C e 1 ldots e n nbsp e i e i if B e i e i 0 e i B e i e i if B e i e i gt 0 e i B e i e i if B e i e i lt 0 displaystyle e i left begin matrix e i amp mbox if B e i e i 0 frac e i sqrt B e i e i amp mbox if B e i e i gt 0 frac e i sqrt B e i e i amp mbox if B e i e i lt 0 end matrix right nbsp 现在 新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0 1 和 1 的对角矩阵 零将出现当且仅当根是非平凡的 复数情况 编辑 当工作于在复数之上的空间中的时候 可以相当容易的走的更远一点 设 C e 1 e n displaystyle C e 1 ldots e n nbsp 是正交基 我们定义新的基 C e 1 e n displaystyle C e 1 ldots e n nbsp e i e i if B e i e i 0 e i B e i e i if B e i e i 0 displaystyle e i left begin matrix e i amp mbox if B e i e i 0 e i sqrt B e i e i amp mbox if B e i e i neq 0 end matrix right nbsp 现在新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0 和 1 的对角矩阵 零将出现当且仅当根是非平凡的 正交极性 编辑设 B 是双线性形式 它带有不同于 2 的特征的域 K 上的空间 V 上的根 现在可以定义从 V 的所有子空间的集合 D V 到自身的映射 a D V D V W W displaystyle alpha D V rightarrow D V W mapsto W perp nbsp 这个映射是在投影空间 PG W 上的正交极性 反过来说 你可以证明所有正交极性可以用这种方式引出 并且带有平凡根的两个对称双线性形式引发同样的极化 当且仅当它们差一個标量乘法 參考文獻 编辑 1 永久失效連結 取自 https zh wikipedia org w index php title 对称双线性形式 amp oldid 47446542, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,