婆罗摩笈多, 斐波那契恒等式, 婆罗摩笈多, 斐波那契恒等式, 是以下的恒等式, displaystyle, begin, aligned, left, right, left, right, left, right, left, right, qquad, qquad, left, right, left, right, qquad, qquad, aligned, 这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和, 则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和, 例如, displaystyle, 都可以用展开. 婆罗摩笈多 斐波那契恒等式 是以下的恒等式 a 2 b 2 c 2 d 2 a c b d 2 a d b c 2 1 a c b d 2 a d b c 2 2 displaystyle begin aligned left a 2 b 2 right left c 2 d 2 right amp left ac bd right 2 left ad bc right 2 qquad qquad 1 amp left ac bd right 2 left ad bc right 2 qquad qquad 2 end aligned 这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和 则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和 例如 1 2 4 2 2 2 7 2 30 2 1 2 26 2 15 2 displaystyle 1 2 4 2 2 2 7 2 30 2 1 2 26 2 15 2 1 和 2 都可以用展开多项式的方法来证实 2 可以通过把 1 中的b displaystyle b 换成 b displaystyle b 来得出 这个等式在整数环和有理数环中都成立 更一般地 在任何的交换环中都成立 它在数论中有很多应用 例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和 则根据婆罗摩笈多 斐波那契恒等式 任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和 目录 1 證明 2 相关等式 3 与复数的关系 4 用范数来解释 5 参见 6 外部链接證明 编辑 a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 c 2 a 2 d 2 b 2 c 2 b 2 d 2 a 2 c 2 b 2 d 2 2 a b c d a 2 d 2 b 2 c 2 2 a b c d a c b d 2 a d b c 2 displaystyle begin aligned left a 2 b 2 right left c 2 d 2 right amp a 2 c 2 a 2 d 2 b 2 c 2 b 2 d 2 amp left a 2 c 2 b 2 d 2 color red 2abcd right left a 2 d 2 b 2 c 2 color red 2abcd right amp left ac bd right 2 left ad bc right 2 end aligned 而若將 2 a b c d displaystyle color red 2abcd 與 2 a b c d displaystyle color red 2abcd 互換位置 即可得 a c b d 2 a d b c 2 displaystyle left ac bd right 2 left ad bc right 2 相关等式 编辑四平方和恒等式是一个类似的等式 含有四个平方和 与四元数有关 还有一个八平方和恒等式 英语 Degen s eight square identity 与复数的关系 编辑如果a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c 和d displaystyle d 是实数 那么这个等式与複數的绝对值的乘法性质是等价的 也就是说 a b i c d i a b i c d i displaystyle a bi c di a bi c di 由于 a b i c d i a c b d i a d b c displaystyle a bi c di ac bd i ad bc 两边平方 得 a b i 2 c d i 2 a c b d i a d b c 2 displaystyle a bi 2 c di 2 ac bd i ad bc 2 根据绝对值的定义 a 2 b 2 c 2 d 2 a c b d 2 a d b c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd 2 ad bc 2 用范数来解释 编辑在a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c 和d displaystyle d 是有理数的情况中 这个等式可以解释为域Q i displaystyle Q i 的范数是积性的 也就是说 N a b i a 2 b 2 displaystyle N a bi a 2 b 2 且N c d i c 2 d 2 displaystyle N c di c 2 d 2 而且 N a b i c d i N a c b d i a d b c a c b d 2 a d b c 2 displaystyle N a bi c di N ac bd i ad bc ac bd 2 ad bc 2 所以 这个等式就是说 N a b i c d i N a b i N c d i displaystyle N a bi c di N a bi cdot N c di 参见 编辑婆罗摩笈多矩阵 复数 四平方和恒等式外部链接 编辑PlanetMath MathWorld 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 婆罗摩笈多 斐波那契恒等式 amp oldid 71188526, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,