C. F. Gauss,“Disquisitiones Arithmeticae”(費馬版)。由Apple翻译。俊洪,1365年。
Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144
外部連結
. 原始内容存档于5 February 2012.
Fermat's two squares theorem, D. R. Heath-Brown, 1984.
四月 01, 2023
费马平方和定理, 費馬平方和定理是由法国数学家皮埃爾, 費馬在1640年提出的一个猜想, 但他没有提出有力的数学证明, 1747年, 瑞士数学家萊昂哈德, 歐拉提出证明后成为定理, 目录, 内容, 歐拉的证明, 扎吉尔, 一句话, 证明, 参考文献, 外部連結内容, 编辑費馬平方和定理的表述是, 奇質數能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该質數被4除余1, 如5, displaystyle, 那麼, displaystyle, equiv, pmod, 反之亦然, 该命题的必要条件是显然的, 因为对于a, dis. 費馬平方和定理是由法国数学家皮埃爾 德 費馬在1640年提出的一个猜想 但他没有提出有力的数学证明 1747年 瑞士数学家萊昂哈德 歐拉提出证明后成为定理 目录 1 内容 2 歐拉的证明 3 扎吉尔 一句话 证明 4 参考文献 5 外部連結内容 编辑費馬平方和定理的表述是 奇質數能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该質數被4除余1 如5 1 2 2 2 displaystyle 5 1 2 2 2 那麼 5 1 mod 4 displaystyle 5 equiv 1 pmod 4 反之亦然 该命题的必要条件是显然的 因为对于a 0 mod 2 displaystyle a equiv 0 pmod 2 总有a 2 0 mod 4 displaystyle a 2 equiv 0 pmod 4 偶数的平方能被4整除 以及对于a 1 mod 2 displaystyle a equiv 1 pmod 2 总有a 2 1 mod 4 displaystyle a 2 equiv 1 pmod 4 奇数的平方被4除余1 即若两个平方数之和为奇数 则该奇数必然模4余1而不可能出现模4余3的情况 事实上不管这个奇数是素数还是合数都如此 而该命题的充分条件为本定理证明的重点 歐拉的证明 编辑歐拉在1747年证明了费马平方和定理 当年他四十岁 他在当年5月6日寄给哥德巴赫一封信 讲述这个定理的证明 该证明分五步 且用到了无穷递降法 由于信中没有把第五步讲清楚 因此1749年他再次寄给哥德巴赫一封信 详细讲述第五步的证明 第一步 如果两个整数都能表示为两个平方数之和 则它们的积也能表示为两个平方数之和 即婆罗摩笈多 斐波那契恒等式 a 2 b 2 p 2 q 2 a p b q 2 a q b p 2 displaystyle a 2 b 2 p 2 q 2 ap bq 2 aq bp 2 dd 第二步 如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除 则它们的商也能表示为两个平方数之和 假设a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 能被p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 整除 且后者为素数 则p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 能整除 dd p b a q p b a q p 2 b 2 a 2 q 2 p 2 a 2 b 2 a 2 p 2 q 2 displaystyle pb aq pb aq p 2 b 2 a 2 q 2 p 2 a 2 b 2 a 2 p 2 q 2 dd dd 由于p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 是素数 因此它能整除两个因子之一 假设它能整除p b a q displaystyle pb aq 由于 dd a 2 b 2 p 2 q 2 a p b q 2 a q b p 2 displaystyle a 2 b 2 p 2 q 2 ap bq 2 aq bp 2 dd dd 可推出p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 能整除 a p b q 2 displaystyle ap bq 2 于是等式能被p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 的平方整除 两边除以 p 2 q 2 2 displaystyle p 2 q 2 2 得 dd a 2 b 2 p 2 q 2 a p b q p 2 q 2 2 a q b p p 2 q 2 2 displaystyle frac a 2 b 2 p 2 q 2 left frac ap bq p 2 q 2 right 2 left frac aq bp p 2 q 2 right 2 dd dd 因此其商能表示为两个平方数之和 dd 如果p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 能整除p b a q displaystyle pb aq 则利用等式 dd a 2 b 2 q 2 p 2 a q b p 2 a p b q 2 displaystyle a 2 b 2 q 2 p 2 aq bp 2 ap bq 2 dd dd 同样可证 dd 第三步 如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除 则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子 假设x displaystyle x 能整除a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 且其商的分解式为p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 cdots p n 则a 2 b 2 x p 1 p 2 p n displaystyle a 2 b 2 xp 1 p 2 cdots p n 如果所有的因子p i displaystyle p i 都能表示为两个平方数之和 则我们可以用p 1 displaystyle p 1 p 2 displaystyle p 2 等等去除a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 并使用第二步的结论 可得每一个商都能表示为两个平方数之和 除到只剩x displaystyle x 的时候 可得x displaystyle x 也能表示为两个平方数之和 矛盾 因此 如果x displaystyle x 不能表示为两个平方数之和 则至少有一个素数p i displaystyle p i 也不能表示为两个平方数之和 dd 第四步 如果a displaystyle a 和b displaystyle b 互素 则a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 的所有因子都能表示为两个平方数之和 这一步用到了无穷递降法 设x displaystyle x 是a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 的一个因子 可记a m x c b n x d displaystyle a mx pm c qquad b nx pm d dd 其中c displaystyle c 和d displaystyle d 的绝对值最多不超过x displaystyle x 的一半 可得 a 2 b 2 m 2 x 2 2 m x c c 2 n 2 x 2 2 n x d d 2 A x c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 m 2 x 2 pm 2mxc c 2 n 2 x 2 pm 2nxd d 2 Ax c 2 d 2 因此 c 2 d 2 displaystyle c 2 d 2 一定能被x displaystyle x 整除 设c 2 d 2 y x displaystyle c 2 d 2 yx 如果c displaystyle c 和d displaystyle d 不互素 则它们的最大公约数与x displaystyle x 互质 否则它与x displaystyle x 的最大公约数就能整除a displaystyle a 和b displaystyle b 与我们假设它们互素矛盾 因此它们的最大公约数的平方能整除y displaystyle y 因为它能整除c 2 d 2 displaystyle c 2 d 2 于是我们得到e 2 f 2 z x displaystyle e 2 f 2 zx 其中e displaystyle e 和f displaystyle f 互素 且z displaystyle z 不超过x displaystyle x 的一半 这是因为 dd z x e 2 f 2 c 2 d 2 x 2 2 x 2 2 1 2 x 2 displaystyle zx e 2 f 2 leq c 2 d 2 leq left frac x 2 right 2 left frac x 2 right 2 frac 1 2 x 2 dd dd 如果c displaystyle c 和d displaystyle d 互素 则我们可直接使用c displaystyle c 和d displaystyle d 不必转换成e displaystyle e 和f displaystyle f dd 如果x displaystyle x 不能表示为两个平方数之和 则根据第三步的结论 可知必有一个z displaystyle z 的因子不能表示为两个平方数之和 设它为w displaystyle w 于是我们从x displaystyle x 推出了一个更小的整数w displaystyle w 都不能表示为两个平方数之和 但都能被一个能表示为两个平方数之和的整数整除 由于这个无穷递降是不可能的 因此x displaystyle x 一定能表示为两个平方数之和 dd 第五步 任何形为4 n 1 displaystyle 4n 1 的素数都能表示为两个平方数之和 如果p 4 n 1 displaystyle p 4n 1 则根据费马小定理可得1 2 4 n 3 4 n 4 n 4 n displaystyle 1 2 4n 3 4n dots 4n 4n 被p displaystyle p 除都余1 因此它们的差2 4 n 1 3 4 n 2 4 n 4 n 4 n 4 n 1 4 n displaystyle 2 4n 1 3 4n 2 4n dots 4n 4n 4n 1 4n 都能被p displaystyle p 整除 这些差可分解为a 4 n b 4 n a 2 n b 2 n a 2 n b 2 n displaystyle a 4n b 4n left a 2n b 2n right left a 2n b 2n right dd 由于p displaystyle p 是素数 它一定能整除这两个因子之一 以下称它们为 和因子 和 差因子 如果它能整除任何一个 和因子 则根据第四步的结论可得p displaystyle p 能表示为两个平方数之和 由于a displaystyle a 和b displaystyle b 仅相差1 displaystyle 1 它们必然互素 而如果它能整除所有的4 n 1 displaystyle 4n 1 个 差因子 2 2 n 1 3 2 n 2 2 n 4 n 2 n 4 n 1 2 n displaystyle 2 2n 1 3 2n 2 2n dots 4n 2n 4n 1 2n 则它也能整除4 n 2 displaystyle 4n 2 个一阶差 4 n 3 displaystyle 4n 3 个二阶差 依此类推 由于数列1 k 2 k 3 k displaystyle 1 k 2 k 3 k dots 的第k displaystyle k 阶差都等于k displaystyle k 于是第2 n displaystyle 2n 阶差都等于 2 n displaystyle 2n 显然它不能被p displaystyle p 整除 因此 p displaystyle p 不能整除所有的 差因子 得证p displaystyle p 能表示为两个平方数之和 dd 扎吉尔 一句话 证明 编辑唐 扎吉爾 英语 Don Zagier 的证明基于羅傑 希斯 布朗 英语 Roger Heath Brown 早期证明的简化 令素数p displaystyle p 满足p 4 k 1 displaystyle p 4k 1 以及N displaystyle mathbb N 为自然数集 考虑三元数组有限集S x y z N 3 x 2 4 y z p displaystyle S x y z in mathbb N 3 x 2 4yz p 于是S displaystyle S 存在两种对合映射的方式 一种是 x y z x z y displaystyle x y z mapsto x z y 其中不动点 x y y displaystyle x y y 即为p displaystyle p 的两平方和的表示形式 另一种则是较为复杂的形式 x y z x 2 z z y x z x lt y z 2 y x y x y z y z lt x lt 2 y x 2 y x y z y x gt 2 y displaystyle x y z mapsto begin cases x 2z z y x z amp x lt y z 2y x y x y z amp y z lt x lt 2y x 2y x y z y amp x gt 2y end cases 必然有且只有一个不动点 1 1 k displaystyle 1 1 k 因此集合S displaystyle S 的元素个数必为奇数 于是不动点 x y y displaystyle x y y 必然存在 参考文献 编辑Richard Dedekind 費馬的理论 C F Gauss Disquisitiones Arithmeticae 費馬版 由Apple翻译 俊洪 1365年 Don Zagier A one sentence proof that every prime p 1 mod 4 is a sum of two squares Amer Math Monthly 97 1990 no 2 144外部連結 编辑Two more proofs at PlanetMath org A one sentence proof of the theorem 原始内容存档于5 February 2012 Fermat s two squares theorem D R Heath Brown 1984 取自 https zh wikipedia org w index php title 费马平方和定理 amp oldid 75199437, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,