範數 (域論)

在域論，範數是一種映射。

設${\displaystyle K}$為域，${\displaystyle L}$是${\displaystyle K}$的有限代數擴張。將${\displaystyle \alpha }$與${\displaystyle L}$的一個元素相乘，是一個線性變換：

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L}$

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$定義為${\displaystyle m_{\alpha }}$的行列式。

因此可得${\displaystyle N_{L/K}}$的性質：

• ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in K\forall \alpha \in L}$
• ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )}$

若${\displaystyle L/K}$為伽羅瓦擴張，${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$是${\displaystyle \alpha }$所有共軛的積，即是${\displaystyle \alpha }$的極小多項式的所有根的積。

代數整數的範數仍是代數整數。

在代數數論亦可為理想定義範數。若${\displaystyle I}$是代數數域${\displaystyle K}$的整數域${\displaystyle O_{k}}$中的理想，${\displaystyle N(I)}$是${\displaystyle O_{k}/I}$的剩餘類的數目。

例子

• 複數的範數：對於${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ，對於複數此一實數域擴張，${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}}$ ，即複數和其共軛複數之積，因為${\displaystyle a+bi}$ 在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的極小多項式的根是${\displaystyle a\pm bi}$ 。
• 設${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),K=\mathbb {Q} ,\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$ （黃金分割）。${\displaystyle N(\varphi )=(1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})/4=1}$ ，因為它在${\displaystyle L}$ 的極小多項式是${\displaystyle x^{2}-x-1}$ 。