多项式环, 在抽象代數中, 多項式環推廣了初等數學中的多項式, 一個環, displaystyle, 上的多項式環是由係數在, displaystyle, 中的多項式構成的環, 其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義, 在範疇論的語言中, displaystyle, 為交換環時, 多項式環可以被刻劃為交換, displaystyle, 代數範疇中的自由對象, 目录, 定義, 多項式函數與多項式, 形式定義, 多項式的運算, 環結構, 多項式的合成, 求值, 導數, 多變元的情形, 性質, 在數學中的角色定義, 编辑. 在抽象代數中 多項式環推廣了初等數學中的多項式 一個環 R displaystyle R 上的多項式環是由係數在 R displaystyle R 中的多項式構成的環 其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義 在範疇論的語言中 當 R displaystyle R 為交換環時 多項式環可以被刻劃為交換 R displaystyle R 代數範疇中的自由對象 目录 1 定義 1 1 多項式函數與多項式 1 2 形式定義 2 多項式的運算 2 1 環結構 2 2 多項式的合成 2 3 求值 2 4 導數 3 多變元的情形 4 性質 5 在數學中的角色定義 编辑多項式函數與多項式 编辑 在初等數學與微積分中 多項式視同多項式函數 兩者在一般的域或環上則有區別 舉例言之 考慮有限域 F 2 Z 2 Z displaystyle mathbb F 2 mathbb Z 2 mathbb Z 上的多項式 P X X 2 X displaystyle P X X 2 X 此多項式代任何值皆零 故給出零函數 但其形式表法非零 我們寧願將多項式看作形式的符號組合 以得到較便利的代數理論 且考慮多項式在域擴張之下的性質 就函數觀點 多項式函數在域擴張下的行為頗複雜 上述 P X displaystyle P X 給出 F 2 displaystyle mathbb F 2 上的零函數 但視為 F 4 displaystyle mathbb F 4 上的多項式函數則非零 而就形式觀點 只須將係數嵌入擴張域即可 形式定義 编辑 於是我們採取下述定義 令 R displaystyle R 為環 一個單變元 X displaystyle X 的多項式 P X displaystyle P X 定義為下述形式化的表法 P X a m X m a m 1 X m 1 a 1 X a 0 displaystyle P X a m X m a m 1 X m 1 cdots a 1 X a 0 其中 a i displaystyle a i 屬於 R displaystyle R 稱作 X i displaystyle X i 的係數 而 X displaystyle X 視作一個形式符號 兩多項式相等若且唯若每個 X i displaystyle X i 的係數均相同 次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數 或者首項係數 更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 a a n n 0 displaystyle a a n n geq 0 使得其中僅有有限項非零 但是我們在實踐上總是用變元 X displaystyle X 及其冪次表達 多項式的運算 编辑以下固定環 R displaystyle R 我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算 環結構 编辑 多項式的加法由係數逐項相加定義 而乘法則由下列法則唯一地確定 分配律 對所有 R displaystyle R 上的多項式 P X Q X R X displaystyle P X Q X R X 恆有 P X Q X R X P X R X Q X R X displaystyle P X Q X cdot R X P X R X Q X R X R X P X Q X R X P X R X Q X displaystyle R X cdot P X Q X R X P X R X Q X 對所有 a R displaystyle a in R 有 X a a X displaystyle X a a X 對所有非負整數 k l displaystyle k l 有 X k X l X k l displaystyle X k cdot X l X k l 運算的具體表法如下 i 0 n a i X i i 0 n b i X i i 0 n a i b i X i displaystyle sum i 0 n a i X i sum i 0 n b i X i sum i 0 n a i b i X i i 0 n a i X i j 0 m b j X j k 0 m n m n k a m b n X k displaystyle left sum i 0 n a i X i right left sum j 0 m b j X j right sum k 0 m n left sum mu nu k a mu b nu right X k 當 R displaystyle R 是交換環時 R X displaystyle R X 是個 R displaystyle R 上的代數 多項式的合成 编辑 設 P X a i X i displaystyle P X sum a i X i 而 Q X displaystyle Q X 為另一多項式 則可定義兩者的合成為 P Q X i a i Q X i displaystyle P circ Q X sum i a i Q X i 求值 编辑 對於任一多項式 P X a i X i displaystyle P X sum a i X i 及 r R displaystyle r in R 我們可考慮 P X displaystyle P X 對 r displaystyle r 的求值 s r P i a i r i displaystyle s r P sum i a i r i 固定 r R displaystyle r in R 則得到一個環同態 s r R X R displaystyle s r R X rightarrow R 稱作求值同態 此外它還滿足 s r P Q s s r Q P displaystyle s r P circ Q s s r Q P 導數 编辑 在微積分中 多項式的微分由微分法則 x k k x k 1 displaystyle x k kx k 1 確定 雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性 我們仍然可形式地定義多項式的導數為 P X i 0 n a i X i displaystyle P X sum i 0 n a i X i P X i 0 n i a i X i 1 displaystyle Rightarrow P X sum i 0 n ia i X i 1 這種導數依然滿足 P Q P Q P Q displaystyle PQ P Q PQ 與 P Q P Q displaystyle P Q P Q 等性質 對於係數在域上的多項式 導數也可以判定重根存在與否 多變元的情形 编辑上述定義可以推廣到任意個變元 包括無限個變元 的情形 對於有限變元的多項式環 R X 1 X n displaystyle R X 1 ldots X n 也可以採下述構造 先考慮兩個變元 X Y displaystyle X Y 的例子 我們可以先構造多項式環 R X displaystyle R X 其次構造 R X Y displaystyle R X Y 可以證明有自然同構 R X Y R X Y displaystyle R X Y cong R X Y 例如多項式 P X Y X 2 Y 2 4 X Y 2 5 X 3 8 Y 2 6 X Y 2 Y 7 R X Y displaystyle P X Y X 2 Y 2 4XY 2 5X 3 8Y 2 6XY 2Y 7 in R X Y 也可以視作 X 2 4 X 8 Y 2 6 X 2 Y 5 X 3 7 R X Y displaystyle X 2 4X 8 Y 2 6X 2 Y 5X 3 7 in R X Y 對 R Y X displaystyle R Y X 亦同 超過兩個變元的情形可依此類推 性質 编辑若 R 是域 則 R X displaystyle R X 是主理想環 事實上還是個欧几里得整环 若 R 是唯一分解環 則 R X displaystyle R X 亦然 若 R 是整環 則 R X displaystyle R X 亦然 若 R 是諾特環 則 R X displaystyle R X 亦然 這是希爾伯特基底定理的內容 任一個交換環 R displaystyle R 上的有限生成代數皆可表成某個 R X 1 X n displaystyle R X 1 ldots X n 的商環 在數學中的角色 编辑多項式環對理想的商是構造環的重要技術 例子包括從同餘系 Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z 構造有限域 或從實數構造複數等等 弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環 此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法 取自 https zh wikipedia org w index php title 多项式环 amp oldid 67914352, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,