四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形

四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形是目前已知最大奇數的可作圖多邊形。其內角和角度為773,094,112,740度，對角線則有9,223,372,026,117,357,570條。

正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形
類型	正多邊形
對偶	正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形（本身）
邊	4294967295
頂點	4294967295
對角線	9223372026117357570
施萊夫利符號	{4294967295}
考克斯特圖（英语：Coxeter diagram）
對稱群	二面體群 (D4294967295), order 2×4294967295
面積	${\displaystyle {\frac {4294967295}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{4294967295}}}$ ${\displaystyle \approx 1467945250957485488.60175a^{2}}$
內角（度）	${\displaystyle {\frac {773094112740}{4294967295}}^{\circ }=\,}$${\displaystyle 179{\frac {4294966935}{4294967295}}}$ ^o 179.99999991618°
內角和	773094112740°
特性	凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形
查 论 编

特别地，正4294967295邊形可以尺规作图（仅用直尺和圆规来作图）来完成。可以用尺规作图的多边形有无数个，只要是某些奇数的2次方倍的边数的多边形都可以尺规作图，然而奇数边数多边形已知能够尺规作图的边数只有31个，而正4294967295边形的边数是这些多边形当中最大的边数。这31个奇数边数可以可作图多边形的边数有： 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295⋯⋯（OEIS數列A045544）

性质

正4294967295边形的边数非常的多，几乎无法使其和一个正圆形区分开来。正4294967295边形的中心角的角度非常小，只有：

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{4294967295}}\approx 8.389\times 10^{-8\ \circ }\approx 0.0003''}$ 

半径为1的圆内接正4294967295边形面积为：

${\displaystyle {\frac {4294967295}{2}}\sin {\frac {2\pi }{4294967295}}\approx 3.141592653589793237}$ 

其与圆的面积非常接近，这个数值也与圆周率非常接近，其中的17个位数完全与圆周率相同。其一个边的边长为：

${\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{4294967295}}\approx 1.462918\times 10^{-9}}$ 

这个多边形几乎无法和圆形区分开来。举例来说，半径为1000千米的圆内接正4294967295邊形，其边长略低于1.5毫米。 此外，假设地球是一个半径为6378千米的完美球体，并考虑内接于大圆（例如赤道）的正4294967295邊形，则其边长略低于1厘米。

可作图性

4294967295是

${\displaystyle 2^{2^{5}}-1}$ 

它的素数分解是

${\displaystyle 3\times 5\times 17\times 257\times 65537}$ 

是所有已知费马素数的乘积。卡尔·弗里德里希·高斯澄清说，正n边多边形的可构造性的充分必要条件是费马素数的乘积与2的幂的乘积，即：

${\displaystyle n=2^{m}F_{a}F_{b}\cdots F_{c}\quad (F_{a},F_{b},\cdots ,F_{c}}$ 为相异费马素数、${\displaystyle m}$ 为非负整数)

因此，如果不存在大于65537的费马素数的猜想是正确的，那么正4294967295边形就是边数最多的可构造正奇数边数多边形。^[1][2][3]

參考資料

1. Falko Lorenz, 2006, Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory, p. 105. ISBN 9780387316086.
2. Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, A Short Course in Discrete Mathematics, p. 43. ISBN 9780486439464.
3. John Horton Conway, Richard Guy, 1998, The Book of Numbers, p. 140. ISBN 9780387979939.

參考書籍

• 美しくて感動する数の教室. PHP研究所. 2013: 133 [2022-07-10]. ISBN 978-4-5698-0969-4. （原始内容于2022-07-13）.