单调函数

在数学中在有序集合之间的函数是单调（monotone）的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调、反单调或序保持、序反转。

单调非递减函数。

单调非递增函数。

非单调函数。

一般定义

设

${\displaystyle f:P\longrightarrow Q}$ 

是在两个带有偏序≤的集合${\displaystyle P}$ 和${\displaystyle Q}$ 之间的函数。在微积分中，它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数，但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。

函数${\displaystyle f}$ 是单调的，如果只要${\displaystyle x\leq y}$ ，则${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$ 。因此单调函数保持次序关系。

微积分和实分析中的单调性

在微积分中，经常不需要诉诸序理论的抽象方法。如上所述，函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。

受在实数上的单调函数的图的形状的启发，这种函数也叫做单调递增的（或"非递减"的）。类似的，函数叫做单调递减的（或"非递增"的），如果只要${\displaystyle x<y}$ ，则${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$ ，就说它反转了次序。

如果把定义中的次序≥替换为严格次序>，则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做严格递增的。还有通过反转序符号，可以得到对应的严格递减。严格递增或递减的函数是一一映射（因为${\displaystyle a<b}$ 蕴涵${\displaystyle a\neq b}$ ）。

要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。

序理论中的单调性

在序理论中，不限制于实数集合，可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语「递增」和「递减」，因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系<和>在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。

单调（monotone）函数也叫做isotone或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone或序反转。因此，反单调函数f满足性质

${\displaystyle x\leq y}$ 蕴涵${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$ ，对于它的定义域中的所有${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。

常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果${\displaystyle f}$ 是单调的也是反单调的，并且如果${\displaystyle f}$ 的定义域是格，则${\displaystyle f}$ 必定是常量函数。

单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入（${\displaystyle x\leq y}$ 当且仅当${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$ 的函数）和序同构（双射序嵌入）。

参考文献

• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas. Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. 2001. ISBN 0719033411.