周環

代數幾何中，代數簇的周環（得名於周煒良）是簇作為拓撲空間的上同調環的替代品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後，某些兩環都有的構造在周環中更簡單。

有理等價

定義周環前，我們需先定義“有理等價”。如名字所暗示，它是一個等價關係。假定X是一代數簇，Y、Z是其子簇，若存在一包含於積族P¹×X中，且以P¹參數化的平坦族，使得Y和Z是它的兩個纖維，我們就稱Y和Z有理等價。用古典語言來說，我們想要一個積族的子簇，Y和Z是其兩纖維，且其所有纖維有相同的希爾伯特多項式。若我們將P¹當作一條線，則此概念就是配邊的代數模擬。

周環的定義

有理等價的定義隱含了有理等價的兩子簇維數相同。為了構造周環，我們將採用余維數（X本身與子簇的維數差），這樣乘積才運行良好。對滿足${\displaystyle 0\leq k\leq \dim {X}}$ 的整數k，我們定義群A^k(X)為余維數k的子簇的形式和，再模掉有理等價。 周環自身是它們的直和，即：

${\displaystyle A^{*}(X)=\bigoplus _{k=0}^{\dim {X}}A^{k}(X)}$ 

環的結構以簇的相交給出：如果兩個等價類${\displaystyle [Y]}$ 和${\displaystyle [Z]}$ 分別在A^k(X)和A^l(X)中，我們定義它們的積為

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=[Y\cap Z]}$ 

此定義有一系列技術細節，我們將在下面討論。可以肯定地說，在最好的情形（在有理等價下總成立），此交有余維數k + l，因而在A^{k + l}(X)中。這使得周環成為分次環。周環的元素常被稱為“圈”

幾何解釋

周環的幾何內涵混合了有理等價和相交積，這使得似乎形式的數字系數得以被解釋為子簇的度。例如，射影空間Pⁿ的周環是

${\displaystyle A^{*}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Z} [\omega ]/(\omega ^{n+1})}$ 

${\displaystyle \omega }$ 是超平面（單個線性函數的零點軌跡）的有理等價類。更進一步，任何度為d而余維數為k的子簇都有理等價於${\displaystyle d\omega ^{k}}$ 。這意味著，如果有兩個子簇有互補的維數（它們維數和為n）且度數分別為d、e，則它們的積就是

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=de\;\omega ^{n}}$ 

${\displaystyle \omega ^{n}}$ 是單點的等價類。至少在Y和Z橫截相交時（參見此處），這說明它們恰有de個交點。這實則是貝祖定理。類似於此的觀察被極大地推廣，產生了計數幾何。

函子性

圈的函子性，即定義在代數圈群Z^*(X)層面上的平坦拉回和適當前推可擴展至周環，這給出群同態

${\displaystyle f^{*}\colon A^{k}(X')\to A^{k}(X)\,\!}$ 和${\displaystyle f_{*}\colon A_{k}(X)\to A_{k}(X')\,\!}$ 

事實上,${\displaystyle f^{*}}$ 給出在整個周環上的環同態（遵從相交積，至少在集合論層面上這是顯然的），但${\displaystyle f_{*}}$ 不行（因為集合論層面上它就不行：我們並不總有${\displaystyle f_{*}}$ ）。但是我們有所謂“投影公式”：對X的子簇Y和X′的子簇Y′，

${\displaystyle f_{*}([Y]\cdot f^{*}([Y']))=f_{*}([Y])\cdot [Y']}$ 

上同調聯繫

周環非常像X上的整值上同調。事實上，有顯然的映射

${\displaystyle f\colon A^{*}(X)\to H^{2*}(X)\,\!}$ 

（以上記號代表在偶維數生成的上同調環）。它將每個有理等價類${\displaystyle [Y]}$ 先送到由閉子簇Y決定的同調類，再送到它的龐加萊對偶（這解釋了偶維數：複代數簇總有偶實維數，因此決定了偶維數的同調類）。可以證明，同一個有理等價類被送到同一個上同調類。更進一步，龐加萊對偶性的一部分說明同調類的相交積對應於上同調類的杯積，因此這映射是環同態。

有不少事實對周環和上同調環有完全相同的形式。例如推拉公式在同調和上同調中都成立。進一步，一基本結果聲稱，Pⁿ的上同調環和以上給出的周環是一樣的，乃至${\displaystyle \omega }$ 的解釋都一樣（這說明，對射影空間，實際上上一段定義的映射${\displaystyle \omega }$ 是同構）。但是對此結果，上同調證明技巧性頗高。相反，對周環我們給出一個相當簡單的幾何證明：

首先，設H為一超平面，從而同構於P^{n − 1}。任何另外的超平面J有理等價與它，因為若它們分別由線性形式L和M定義，我們可以把它們當成Pⁿ中的點（通過其系數），由此可得它們間唯一的線。線上的點都是線性形式，從而定義了一族超平面，且由構造H和J皆在其中。${\displaystyle H\cap J}$ 是H中的超平面，且由定義它的等價類為${\displaystyle \omega ^{2}}$ 。這樣我們便有一族超平面，其中每個都嵌在前一個中，依次同構與對應的射影空間且等價於${\displaystyle \omega }$ 的冪。

鑒於這些發現，我們考察任意余維數k度數d的子簇。如果k=0，那麼Y必須等於Pⁿ本身，因為射影空間不可約。如果k不是0，不妨假定H由令最後一個座標為0定義，且${\displaystyle P=[0:\dots :0:1]}$ 不在Y中。對每個P¹中不是${\displaystyle [0:1]}$ 的點${\displaystyle t=[t_{0}:t_{1}]}$ ，定義映射

${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\}\to \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\},f_{t}([a_{0}:\dots :a_{n-1}:a_{n}])=[t_{0}a_{0}:\dots :t_{0}a_{n-1}:t_{1}a_{n}]}$ 

Y在這些映射下的像形成了一個在P¹除去一點上的簇族。我們在 P¹ × Pⁿ中取閉包來得到Y的有理等價（這是一個等價關係得自一個非平凡但標準的事實：取閉包對應於取“平坦極限”）。如此，無窮遠點處的纖維就是Y到超平面H上的投影，因此有與Y相同的度和維數。因為H本身就是射影空間，我們可重複此過程直到Y維數過大不能繼續。由此可得Y有理等價與${\displaystyle d\omega ^{k}}$ ，而且我們已經找到了積結構。

一個類似的證明建立此定理的推廣，在上同調中以勒雷-赫希定理聞名。它用對應纖維叢的陳類和底空間的周環計算了射影空間叢的周環。上同調的證明則要用到譜序列。

某些事實在周環中不成立，但在上同調環中成立。尤其是Künneth公式不成立，儘管勒雷-赫希定理對射影空間的積重建了它。進一步，儘管周環在簇上有逆變函子性，但在代數拓撲的意義下它構不成上同調理論，因為沒有“相對周群”的概念。的確，在代數簇中，沒有邊界的概念，因此正面考慮替代品是無望的。

構造的細節

上面所給A^k(X)的構造需要一些關於“模掉有理等價”的說明。相關的技術細節是，就像在計算射影空間周環時一樣，有時兩個並非簇對應的圈有理等價，儘管有理等價似乎僅僅與集合結構有關。解法是由概形理論而來，即一個由理想層定義的子簇可以被認為有重數d如果我們代理想${\displaystyle I}$ 以${\displaystyle I^{d}}$ 。這樣有理等價的古典陳述便不夠了，且我們必須密切關注平坦族的細節。最後，等價類的形式和，例如aY + bZ，應該被認為是“有度的簇”aY和bZ的不交並，一旦建立了這些約定，我們就可借有理等價為圈的自由阿貝爾群上的等價關係來得到周環。

相交積的定義有點更加複雜。主要問題是在相交中保持正確的維數。如果Y和Z是兩個余維數為k和l的子簇，它們的交並非總有余維數k+l。就如平凡的例子，兩簇可能完全相同。為了克服此難處，我們可以證明“移動引理”。它斷定在任何兩個有理等價類中，我們總可以找到一般橫截的兩代表元，此時它們的交表現良好。子簇的橫截性定義類似於流形的：先定義子簇的紮利斯基切空間，它們自然是X的切空間的子空間。如果這些子空間張成X的切空間，那麼此交是橫截的。如果橫截性在它的一個稠密子集上成立，那麼它是一般橫截的。

某種意義上，對於可對上同調環證明的事實，聲稱周環可給出更簡單的證明有些狡猾。特別是概形論的構造、平坦族和平坦極限，以及移動引理都解決了大量隱藏於周環下的技術困難。但是，這些技術細節大都是理論的基礎，一旦它們被建立，幾何上的優勢就很明顯了。

發展

周群被拓展至高階周群，這平行於從K₀ (零階代數K-理論)到高階代數K-理論的拓展。^[1]

算術周群是Q上代數簇的周群與記錄阿基洛夫理論信息——即有關複流形結構的信息——部分的混合。^[2]

歷史

有理等價和環A^*在20世紀初由意大利代數幾何學派定義，且被Severi和他的學派使用(可參考Severi的論文^[3][4]，他本質上研究了代數曲面S的群A₀(S)；也可參閱芒福德論文開頭的評論^[5]）。 Serge在他1930年的論文^[6]中用了對奇異曲線的環A₀更精細的研究來描述P²中代數曲面的支線。在1956年周煒良寫了一篇重要的論文^[7]後，環A^*被稱作周環。有些幾何學家堅持是格羅滕迪克提出將此環命名為周環。

延伸阅读

[编]

  《舊五代史·卷95》，出自薛居正《舊五代史》

参考文献

• Bloch, Spencer, Algebraic cycles and higher K-theory, Advances in Mathematics, 1986, 61 (3): 267–304, ISSN 0001-8708, MR852815 
• Chow, Wei-Liang, On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, 1956, 64: 450–479, ISSN 0003-486X 
• Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR1644323 
• Gillet, H.; Soulé, C., An arithmetic Riemann–Roch Theorem, Invent. Math., 1992, 110: 473–543, doi:10.1007/BF01231343 

注釋

1. （Bloch 1986）
2. （H. Gillet & C. Soulé 1992）
3. F. Severi, "La base per le varieta algebriche di dim ensione qualunque contenute inunadata", Mem. della R. Accad. d'Italia, 5, (1934), p. 239
4. F. Severi, "The series of sets of points on an algebraic surface", Proc. Imp. Acad. Volume 12, Supplement (1936), 1-7
5. D.Mumford, "Rational equivalence of 0-cycles on surfaces", J. Math. Kyoto Univ. Volume 9, Number 2 (1969), 195-204
6. B. Segre, "Sulla Caratterizzazione delle curve di diramazione", Mem. R. Acc. d'Italia, I 4 (1930)
7. W.L. Chow, "On equivalence classes of cycles in an algebraic variety", Annals of Mathematics, 1956